2 piles consécutifs dans une série de lancers

Bonjour,

Je n'ai pas trouvé grand-chose, mais il ne me semble pas que l'on puisse obtenir une expression simple et agréable de $\mathbb{P} (X_{N}=k)$.
$1)$ Commençons par le plus facile, à savoir une évaluation de $E(X_{N})$:
on a: $X_{N}=\displaystyle{\sum_{i=2}^{N} Y_{i}}$ où $Y_{i}$ désigne la variable aléatoire définie par:
$Y_{i} = 1\:\:\: \text{si ''pile'' est obtenu au cours du (i -1)-ième et du i-ème lancer}$.
$Y_{i} = 0\:\:\:\text{sinon}$.
Alors $E(Y_{i}) = p^2$ et $ E(X_{N}) = (N-1)p^2$.
$2)$ Notons pour tout $n$ dans $ \mathbb{N},\:\:\: a_{n} = \mathbb{P} [X_{n} = 0]$ avec la convention $a_{0} =a_{1} = 1$.
Alors la suite $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ obéit à la relation de récurrence:$$\forall n \geq2\:\:\: a_{n} = qa_{n-1} +pqa_{n-2}.$$ En désignant par $\alpha$ et $\beta$ les réels tels que $\alpha+\beta =q$ et $\alpha\beta =-pq$ , on peut ainsi écrire:$$\mathbb{P} [X_{N} = 0] =\dfrac{(\beta-1)\alpha^N -(\alpha-1)\beta^N}{\beta-\alpha}.$$
$3)$ Fixons $k$ dans $\mathbb{N}^*$ et notons encore: $\forall n \in\mathbb{N},\:\: a_{n} =\mathbb{P}[X_{n} =k]$.
Alors la suite $(a_{n})$ vérifie une relation de récurrence linéaire dont le polynôme caractéristique est $(X^2-qX-pq)^{k+1}$ et , bien que je ne l'aie pas rigoureusement établi, ce polynôme me parait "minimal".
On a néanmoins :$$ \forall k\in \mathbb{N}^* \:\:\exists P_k , \: Q_k \in\mathbb{C}[X]\:\: \text{tels que }\text{deg}P_k = \text{deg}Q_k \leq k\:\:\text{et, pour tout n assez grand,}\:\: \boxed{\mathbb{P}[X_n=k] = P_k(n)\alpha^n +Q_k(n) \beta^n.}$$

Amicalement,