Convergence en loi

Bonsoir P.

Merci pour votre réponse.
Seule $X$ est supposée à densité.
Nous ne disposons pas d'une telle hypothèse concernant $(X_n)_{n\in\N}$.

Merci encore.

Sauf erreur de ma part, on pourrait également raisonner comme cela (en utilisant l'existence de $\limsup_{n\to +\infty}$ pour le passage à la limite dans la double inégalité:

Soit $x\in\mathbb{R}$
Nous avons
$$\forall \varepsilon>0,~\forall n\in\mathbb{N}^*,~0\leqslant \mathbb{P}(X_n=x) \leqslant \mathbb{P}(x-\varepsilon <x\leqslant x+\varepsilon) = F_{X_n}(x+\varepsilon)-F_{X_n}(x-\varepsilon)$$
Donc, $$\forall \varepsilon>0,~0\leqslant \limsup_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)\leqslant \limsup_{n\to +\infty}\left(F_{X_n}(x+\varepsilon)-F_{X_n}(x-\varepsilon)\right)$$
Or, $(X_n)_{n\in\N}$ convergeant en loi vers la variable aléatoire à densité $X$ (dont la fonction de répartition est continue sur $\mathbb{R}$), nous avons:
$$\limsup_{n\to +\infty}\left(F_{X_n}(x+\varepsilon)-F_{X_n}(x-\varepsilon)\right) = \lim\limits_{n\to +\infty}\left(F_{X_n}(x+\varepsilon)-F_{X_n}(x-\varepsilon)\right) = F_X(x+\varepsilon)-F_X(x-\varepsilon)$$
Ainsi, $$\forall \varepsilon>0,~0\leqslant \limsup_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)\leqslant F_X(x+\varepsilon)-F_X(x-\varepsilon)$$
Or, $F_X$ étant continue sur $\mathbb{R}$ en tant que fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité, $$\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\left(F_X(x+\varepsilon)-F_X(x-\varepsilon)\right) = F_X(x)-F_X(x)=0$$
De plus, $$\lim\limits_{\varepsilon\to 0}0=0$$ et $$\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\limsup_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)=\limsup_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)$$
Donc, par prolongement des inégalités à la limite,
$$0\leqslant \limsup_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)\leqslant 0$$
Donc, $$\limsup_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)=0$$
Or, on a bien évidemment $$\limsup_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)\geqslant \liminf_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)\geqslant 0$$
Donc, en vertu de ce qui précède $$\limsup_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)=\liminf_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)= 0$$
Donc, $$\lim\limits_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X_n=x)=0$$