Aide exo probas
Bonjour à tous,
Je bloque TOTALEMENT sur cet exercice d'entraînement en probas, et ce dès les premières questions. Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci !
Je bloque TOTALEMENT sur cet exercice d'entraînement en probas, et ce dès les premières questions. Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci !
Réponses
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Bonjour,
Il suffit de répondre à des questions faciles :
1. Quel est l'ensemble des valeurs de \(U_2\) ?
2. Quel est le « nom » de la loi de \(U_2\) ?
3 Que faut-il calculer pour déterminer entièrement cette loi ? -
U2 = 1 si U1 =/= U2, U2 = 0 sinon. Donc U2 suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/n, est-ce que c'est juste ?
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Et Ti suit une loi uniforme dans [1,n] ?
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anzn a écrit:U2 = 1 si U1 =/= U2
J'espère que ce n'est qu'une faute de frappe !
Pourquoi la loi de \(U_2\) est-elle de paramètre \(1/n\) ?
Ensuite, la loi de \(T_i\) est donnée dans l'énoncé ; il suffit de la mettre en évidence.
Enfin, quelles sont les probabilités à calculer pour obtnir \(P(U_i=1)\) en utilisant le système complet d'événements \(\lbrace (T_i=k)_{1\leqslant k\leqslant n} \rbrace\) ? -
Oui pour la loi de \(T_i\).
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La probabilité que U2 soit différent de U1 est plutôt n-1/n, qui est le paramètre de la loi de Bernoulli de U2. Est-ce que c'est juste cette fois ?
Pour le système complet d'événements, je ne vois pas du tout... -
En effet, c'était simple, merci !
maintenant, je bloque sur la 3... -
Pour la 3a : après \(k\) tirages, on a obtenu \(V_k(n)\) numéros distincts.
On fait un tirage supplémentaire ; combien y a-t-il de valeurs possibles pour \(V_{k+1}(n)\) ? lesquelles ? Dépendent-elles de \(U_{k+1}\) ? si oui, comment ? -
J’ak toujours du mal à voir...
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En \(k\) tirages, tu as obtenu un certain nombre de numéros (distincts, on ne prend pas en compte les répétitions).
Tu effectues un tirage supplémentaire ; cela augmente-t-il le numéro obtenus ? si oui, de combien ? est-ce lié à \(U_{k+1}\). ? -
Après un tirage supplémentaire, soit le nombre est le même, soit il augmente de 1... mais après je ne vois pas
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On a donc : \(V_{k+1}(n) = V_k(n)+a\) où \(a\) vaut \(0\) ou \(1\).
D'un autre côté, \(U_{k+1}\) est à valeurs dans \(\lbrace0,1\rbrace\).
Y a-t-il, ou n'y a-t-il pas, de rapport entre \(a\) et \(U_{k+1}\), du genre : \(U_{k+1}=a\) ou \(U_{k+1}=1-a\) ? -
Si, U_(k+1) = a !
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Je bloque car je n'ai toujours avec cela une expression pour Vk(n) et donc ne peut calculer son espérance...
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Par récurrence sur \(k\) ?
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Oui c'est l'idée qui m'est venue mais je n'y arrive pas
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Parce que je trouve Vk(n) = V1(n) + U2 +........+ Uk et je doute fort que cela soit ça...
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Attention : (V_1(n)\) n'est pas défini par l'énoncé (on se demande vraiment pourquoi…).
Il faut écrire : \(V_k(n) = U_1+U_2+\dotsb+U_k\) en le justifiant correctement.
Rappel : l'espérance est linéaire.
Pour y voir plus clair, tu peux noter \(p=1-\frac1n\) dans le cours des calculs. -
Du coup, l'espérance c'est la somme en de 1 à n de p^(i-1) mais on n'arrive pas au résultat demandé...
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Ben si !
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C'est la somme de 0 à (n-1) de p^i, on a !p! < 1 mais à part ça je ne vois pas comment on peut arriver au résultat demandé...
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\begin{align} p &= 1-\frac1n & 1-p &= \frac1n & \frac{1}{1-p} &=n & \frac{1-p^k}{1-p} &= \dots \end{align}
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C'était à nouveau simple.... merci!
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Par contre pour la c) il n'y aurait pas une erreur ? Je trouve +oo en limite
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Il y a effectivement un bug dans l'indication : $(1+x)^\alpha =1+\alpha x + \mathrm{o}(x)$.
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Ce serait donc quoi l'énoncé ?
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L'indication est fausse, mais l'énoncé est correct (c'est logique, si $k$ est fixé et $n$ est grand alors on ne pioche que des boules distinctes).
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Bonjour,
Juste pour faire remarquer, comme j'ai eu du mal à identifier le sujet, qu'il s'agit d'un sujet edhec AST1.
J'ai l'impression que la source en ligne la plus complète d'annales pour ce concours est celle disponible ici.
![:\](https://les-mathematiques.net/vanilla/resources/emoji/confused.png ":\"){kind=small}
(P\bigl((U_i=1)\cap(T_i=k)\bigr)\). 
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Bonjour!
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