Loi d'une variable aléatoire
Bonjour,
Je bloque sur un exercice sur les variables aléatoires; je précise que je suis en prépa en filière PC.
Voici l'énoncé :
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$. Trouver la loi et l'espérance de $Z=\frac{X}{Y}$.
Premièrement $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\mathbb N^\ast$ donc $Z$ est à valeurs dans $\mathbb Q^\ast$. Mais alors comment calculer $P(Z = k)$ ou $k \in \mathbb Q^\ast$ ?
L'indépendance des deux variables aléatoires permet de dire que $X$ et $\frac{1}{Y}$ sont indépendantes. Ceci doit probablement servir pour trouver la loi de Z... mais je ne vois pas comment déterminer la loi de Z.
Un petit coup de pouce serait le bienvenu, merci !
Je bloque sur un exercice sur les variables aléatoires; je précise que je suis en prépa en filière PC.
Voici l'énoncé :
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$. Trouver la loi et l'espérance de $Z=\frac{X}{Y}$.
Premièrement $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\mathbb N^\ast$ donc $Z$ est à valeurs dans $\mathbb Q^\ast$. Mais alors comment calculer $P(Z = k)$ ou $k \in \mathbb Q^\ast$ ?
L'indépendance des deux variables aléatoires permet de dire que $X$ et $\frac{1}{Y}$ sont indépendantes. Ceci doit probablement servir pour trouver la loi de Z... mais je ne vois pas comment déterminer la loi de Z.
Un petit coup de pouce serait le bienvenu, merci !
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Réponses
Pense à la formule des probabilités totales relativement au système complet d'événements naturellement associé à la variable aléatoire discrète $Y$.
Bien cordialement,
$k \in \mathbb N^*$.
Bon courage.
Fr. Ch.
Je dirais que le mieux, si on voit pas trop, c'est de commencer par des cas simples de valeurs possibles pour $Z$.
À quelle condition a-t-on $Z=1$ ? En déduire $P(Z=1)$.
Idem pour $P(Z=3)$, puis généralisation à $P(Z=n)$, pour $n \in \N^*$.
Puis $P(Z=\frac{1}{5}$, puis généralisation à $P(Z=\frac{1}{n})$, pour $n \in \N^*$.
Enfin généralisation à tous les rationnels.
Je trouve d'ailleurs amusant de constater que $Z$ et $\frac{1}{Z}$ ont la même loi.
Ces évènements étant deux à deux incompatibles, et du fait de l'indépendance de $X$ et $Y$, on en déduit : $$\forall (a,b) \in \mathbb N^\ast\times\mathbb N, P(Z=\frac{a}{b})=\sum_{k=1}^{+\infty} P(X=ka)P(Y=kb)$$
On trouve finalement : $P(Z=\frac{a}{b})=(\frac{p}{1-p})^2 \frac{(1-p)^{a+b}}{1- (1-p)^{a+b}}$.
Comme marsup l'a fait remarquer, $Z$ et $\frac{1}{Z}$ ont même loi; d'ailleurs ça n'a rien d'étonnant puisque $X$ et $Y$ jouent des rôles symétriques.
Ceci étant fait, comment calculer l'espérance de $Z$ ? Il faudrait sommer sur tout les couples $(a,b) \in \mathbb N^\ast\times\mathbb N$, mais les sommes doubles ne sont pas au programme de PC.
Néanmoins, ça m'intéresse quand même de savoir comment on ferait pour calculer $\mathbb E(Z)$ sans passer par cette propriété de l'espérance.
J'ai refait le calcul, je trouve
$$\mathbb{E}(\frac{X}{Y})=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(\frac{1}{Y})=\left(\frac1{p}\right)\left(-\frac{p}{1-p}\ln(p)\right)=-\frac{\ln(p)}{1-p}$$
Ai-je commis une erreur, ou bien ?
Sur un sujet similaire, plus général, je peine à avoir des idées :
$X$, $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes, réelles, strictement positives et indépendantes, de même loi.
Montrer que : $$\mathbb{E}(\frac{X}{Y})\geq1$$
J'avais justement commencé, pour me donner des idées, par ce cas particulier d'une loi géométrique...
Mais je ne vois pas comment démarrer pour une loi à valeurs réelles sans plus de précision.
Merci de tout coup de main !
$$1=\left(E(\sqrt{Y}\times \frac{1}{\sqrt{Y}})\right)^2\leq E(Y)E (\frac{1}{Y})= E(X)E (\frac{1}{Y}) =E (\frac{X}{Y}).$$
Merci !
Alors :
Soit $X$ une variable aléatoire discrète et positive.
A-t-on :
$X$ admet une espérance si et seulement si $\sqrt{X}$ admet un moment d'ordre 2 ?
Ok, facile ! (j'espère)
Et une question me semble poser problème :
Si $X$ admet une espérance, est-on sûr que $\frac1{X}$ aussi ?
Ne faudrait-il pas rajouter à l'énoncé :
$X$ et $1/X$ admettent des espérances ? (mais sinon, l'une de ces espérances vaut $+\infty$ et l'autre est strictement positive ou $+\infty$, donc leur produit est $+\infty$, supérieur à 1...) ?
Pour la deuxième, une variable aléatoire positive admet toujours une espérance, celle-ci valant éventuellement $+\infty$. La question que tu veux poser ici est peut-être "si $X$ est intégrable (i.e. d'espérance finie), alors $\frac{1}{X}$ est-elle intégrable ?". La réponse est bien entendu non.
Merci à tous !