Maximalité de la mesure de Lebesgue
Bonsoir,
Soit $\mathcal{L}$ la tribu de Lebesgue sur $\Bbb R^n$ (ie la complétion de la tribu de Borel) et $\lambda$ la mesure de Lebesgue.
La question suivante me vient souvent à l'esprit sans pour autant y trouver de réponse : en admettant l'axiome du choix, existe-t-il une tribu $\mathcal{T}$ qui contient strictement $\mathcal{L}$ ainsi qu'une mesure $\mu$ sur $\mathcal{T}$ qui étend $\lambda$?
Autrement dit, le couple $(\mathcal{L},\lambda)$ est-il maximal dans l'ensemble des structures d'espace mesuré sur $\Bbb R^n$ (pour l'ordre naturel) ?
Merci à ceux qui pourront éclairer ma lanterne.
Soit $\mathcal{L}$ la tribu de Lebesgue sur $\Bbb R^n$ (ie la complétion de la tribu de Borel) et $\lambda$ la mesure de Lebesgue.
La question suivante me vient souvent à l'esprit sans pour autant y trouver de réponse : en admettant l'axiome du choix, existe-t-il une tribu $\mathcal{T}$ qui contient strictement $\mathcal{L}$ ainsi qu'une mesure $\mu$ sur $\mathcal{T}$ qui étend $\lambda$?
Autrement dit, le couple $(\mathcal{L},\lambda)$ est-il maximal dans l'ensemble des structures d'espace mesuré sur $\Bbb R^n$ (pour l'ordre naturel) ?
Merci à ceux qui pourront éclairer ma lanterne.
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Réponses
Je n'ai pas la réponse à ta question, il serait intéressant de savoir si, étant donnée une partie $A \not \in \mathcal L(\mathbb R)$ (si une telle partie existe), on peut prolonger la mesure de Lebesgue à $\sigma(A, \mathcal L(\mathbb R))$. Pour cela il faudrait donner de manière cohérente une mesure à $A$, à $\mathbb R \setminus A$, mais aussi à toute intersection et réunion de $A$ avec n'importe quel lebesguien, mais aussi à toutes les combinaisons qu'on peut faire entre ces choses, etc. La réponse ne me semble pas facile.
Il n'y a malheureusement ni preuve, ni référence, mais ça répond à ta question !
Par contre on a le surprenant résultat de Banach : On peut prolonger la mesure de Lebesgue en une mesure de Banach.
Ça ne répond pas vraiment à la question mais c'est quand même intéressant !
Un article (que je n'ai pas regardé) qui a l'air d'étendre la mesure de Lebesgue : https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/malq.19890350302
Le lemme de Zorn ne montre-t-il pas au contraire qu'il existe un élément maximal ? (Je n'ai pas vérifié en détail.)
Il est non vide parce qu'il contient la mesure de Lebesgue et étant donné une chaîne $(\sigma_i,\mu_i)$ on a envie de définir l'ensemble $\sigma=\cup \sigma_i$ et la fonction $\mu : X \mapsto \mu_i(X)$ si $X\in \sigma_i$ (la définition est cohérente). Reste à montrer que $\sigma$ est une tribu et $\mu$ une mesure sur cette tribu, et c'est là que ça coince. On montre sans peine que $\sigma$ est stable par union finies et passage au complémentaire mais pour les unions dénombrables ça pose problème. Si l'on prend $(X_n)_{n\in \mathbf N}$ une suite d'éléments de $\sigma$ il n'existe a priori pas d'indice $i\in I$ pour lequel on aurait $X_n\in \sigma_i \forall n$ et je ne sais donc pas montrer que $\cup X_n \in \sigma$.
Evidemment ça ne prouve pas qu'il n'existe pas d'élément maximal.
@Tryss : par contre ce qu'on peut dire c'est qu'un extension de la mesure de Lebesgue contenant un ensemble de Vitali n'est pas invariante par translation ;-)
Je me pose la question suivante : existe-t-il une extension de la mesure de Lebesgue à la tribu de toutes les parties de $\R$ ?