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Analyse sur exo de proba (prepa ECS1)

Envoyé par Fabrice2 
Analyse sur exo de proba (prepa ECS1)
l’an passé
avatar
Bonsoir à tous,
j'ai hésité entre proba et analyse pour ce post mais il me semble que cela relève plus de l'analyse.
Voici un énoncé et ma tentative de solutions en pièces jointe.
Du coup, voici mes questions.
Peut-on simplifier encore $p_n$ ?
Comment finalement déterminer $\lim_n p_n$ ?
Merci de vos retours !



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - exo_proba_ecs1_17.18.pdf (1.3 MB)
Re: Analyse sur exo de proba (prepa ECS1)
l’an passé
avatar
Bonsoir,

La première question permet de te ramener à une somme que tu pourras simplifier.
Re: Analyse sur exo de proba (prepa ECS1)
l’an passé
Pour avoir une idée, on peut développer par la formule du binôme de Newton :

$(p+q)^n$
$(p-q)^n$

Une autre façon de voir, c'est que ce n'est pas très agréable d'avoir une somme seulement sur les termes pairs.

Peut-être qu'on peut utiliser la suite $\epsilon_{k} = \frac{1}{2} \cdot \big(1+(-1)^k\big)$, qu'on vient de nous faire calculer ?

Si on arrive à écrire $p_n$ comme une somme de domaine plus simple en utilisant ces $\epsilon_k$, on sera en meilleure position.

--
PS : la limite $n\to\infty$ sera évidente quand on aura complètement simplifié la formule de $p_n$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par marsup.
Re: Analyse sur exo de proba (prepa ECS1)
l’an passé
avatar
Bonjour,
je comprends bien vos indications mais ne vois pas comment exploiter ces idées,
en commençant par exprimer $p_n$ comme une somme sur un domaine plus simple ?
Pouvez-vous m'en dire un peu plus ? Merci d'avance...
Re: Analyse sur exo de proba (prepa ECS1)
l’an passé
avatar
Du coup j'arrive bien à :

p_n = somme de k=0 à n de Epsilon_k (k parmi n) (1-p)^k p^{n-k}

et ensuite comment peut-on simplifier ?
Re: Analyse sur exo de proba (prepa ECS1)
l’an passé
Parfait, alors !
On remplace les $\epsilon_k$ par leur expression avec des $(-1)^k$ et on développe par linéarité de la somme.
Re: Analyse sur exo de proba (prepa ECS1)
l’an passé
avatar
Oui, c'est bon du coup, merci !
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