Fonction de répartition d'une loi de Poisson

Boh, c'est pas très dur.

Si $X_\lambda \hookrightarrow P(\lambda)$, on a $P(X_\lambda=k) = \frac{\lambda^n}{n!} \cdot e^{-\lambda}$.
La fonction de répartition s'écrit donc : $$
F_{X_\lambda}(n) = P(X_\lambda\leqslant n) = \sum_{0\le k\leqslant n}P(X_\lambda=k)= e^{-\lambda} \cdot \smash{\underbrace{\sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda^k}{k!}}_{S_n(\lambda)}}.
$$ La série de Taylor $\smash{S_n(\lambda) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{\lambda^k}{k!}}$ satisfait classiquement : $$
S_n' = S_{n-1} = S_n - \frac{\lambda^n}{n!}.
$$ Ainsi : $$
\partial_\lambda F_{X_\lambda}(n) = S_n'(\lambda) \cdot e^{-\lambda} - S_n (\lambda) \cdot e^{-\lambda} = -\frac{\lambda^n}{n!} \cdot e^{-\lambda}.
$$ On intègre jusqu'à l'infini : $$
F_{X_\lambda}(n) = - \int_{\lambda}^{\infty} \partial_\lambda F_{X_\lambda}(n) = \int_{\lambda}^\infty \frac{\mu^n}{n!} \cdot e^{-\mu} d\mu.
$$
Cette expression correspond à la fonction $\Gamma$ incomplète car au lieu d'intégrer à partir de $0$, on intègre de $\lambda$.

Elle nous raconte aussi que la fonction de répartition de $X$ est la fonction d'antirépartition d'une certaine loi à densité : la loi d'Erlang.

C'est le coup du processus de Poisson.

Combien le standard téléphonique de la SNCF recevra-t-il d'appels dans la prochaine heure heure ? une variable de Poisson.

Combien de temps d'ici le prochain appel au standard de la SNCF ? une variable exponentielle.
Combien de temps d'ici le 25 prochains appels au standard de la SNCF ? une variable de loi d'Erlang.

Quelle est la probabilité que les 25 prochains arrivent plus tard que dans une heure ?
Quelle est la probabilité qu'au cours de l'heure qui arrive, le standard reçoive moins de 25 appels ? La même !

Chere Clairon, il me semble que tu as pose une question de ce genre il y a 5 ou 6 ans. G. L. je crois t'avais repondu.

C'est le théorème fondamental de l'analyse (entre $x$ et $\lambda$) suivi d'un passage à la limite sur la borne supérieure de l'intégrale ($x \to \infty$). Tu verras le signe apparaître tout seul.

@skyffer: oui, merci, effectivement, c'est tout bête: je m'étais trompé de variable lors du passage à la limite ($n$ au lieu de $\lambda$).

Bonne journée !