Proximité d'un vecteur aux axes
Bonsoir,
soit $\epsilon > 0$, et $n \in \mathbb{N}^*$. Je voudrais avoir des informations sur $c_n(\epsilon) := \mu\left(\big\{ v\in \mathbb{S}^{n-1} \mid \exists i \in \{1,\ldots, n\}, \ \vert \langle v, e_i\rangle \vert \geq 1 - \epsilon\big\}\right)$ où $(e_i)_{i \in \{1,\ldots,n\}}$ est la base canonique de $\mathbb{R}^n$ (et $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est le produit scalaire qui rend cette base orthonormée). Par exemple, à $\epsilon$ petit mais fixé, est-ce que $\big(c_n(\epsilon)\big)_n$ converge, et si oui, vers quoi ?
Avez-vous des idées ?
Merci d'avance !
soit $\epsilon > 0$, et $n \in \mathbb{N}^*$. Je voudrais avoir des informations sur $c_n(\epsilon) := \mu\left(\big\{ v\in \mathbb{S}^{n-1} \mid \exists i \in \{1,\ldots, n\}, \ \vert \langle v, e_i\rangle \vert \geq 1 - \epsilon\big\}\right)$ où $(e_i)_{i \in \{1,\ldots,n\}}$ est la base canonique de $\mathbb{R}^n$ (et $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est le produit scalaire qui rend cette base orthonormée). Par exemple, à $\epsilon$ petit mais fixé, est-ce que $\big(c_n(\epsilon)\big)_n$ converge, et si oui, vers quoi ?
Avez-vous des idées ?
Merci d'avance !
Réponses
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Si on parle bien de mesures uniformes sur les sphères unités en différentes dimensions, alors ta quantité est majorée par
$$
2n \mu_n \left(\big\{ v\in \mathbb{S}^{n-1} \mid \langle v, e_1 \rangle \geq 1 - \epsilon\big\}\right).
$$
Or le facteur de $2n$ tend exponentiellement vite vers $0$ (c'est un exemple classique et historique de concentration de la mesure) donc ta quantité tend également vers $0$. -
Mince alors, je voulais que ça tende vers $1$... Merci beaucoup pour ta réponse :-)
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Bonjour!
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