p(espérance(densité quelconque) = e0) ?

Ok, ça commence à se préciser.

Ta notion de probabilité est bien trop élémentaire pour traiter les variables continues (les "nombres de cas" sont généralement infinis). Donc il faut utiliser une théorie adaptée. Et que tu te lances dans des calculs de probas conditionnelles sans connaître la base même des probas est assez surprenant !
Le résultat est que tu poses finalement une question qui n'a pas de sens :
"la question c'est de déterminer $p(X \sim f \mid I)$"
Pourquoi cette question n'a pas de sens ? Déjà parce que tu as pris au départ cette variable aléatoire X, donc qu'il n'y a rien d'aléatoire. Soit elle a pour loi $f$, de façon certaine, soit elle n'a pas pour loi f, de façon certaine. A moins (et il va encore falloir que tu changes le début de ta question) que tu veuilles dire que $X$ a été pris de façon aléatoire. Oui, mais comment, quel sont l'univers, l'ensemble d'événements (tribu) et la règle de probabilité ?

Si tu veux travailler sur l'ensemble des variables aléatoires définies sur [a,b], même continues, toute théorisation raisonnable d'un "choix au hasard" de $X$ donne une probabilité nulle (pour une densité donnée, il y en a une infinité de très peu différentes, et bien plus encore).

Je ne sais pas pourquoi tu t'es lancé là dedans, mais tu es parti dans le mur. Faute d'avoir étudié un petit peu sérieusement la notion générale de probabilité. A te lire, on dirait que tu veux calculer des probabilités pour une variable aléatoire inconnue. Il n'y a pas besoin d'être grand clerc pour voir que c'est impossible.

Cordialement.

1) Ça veut dire quoi uniformément quand l'ensemble est infini ?
2) Si tu arrives à formuler mathématiquement et raisonnablement ta question, la réponse sera que la probabilité est nulle.
3) Ça ne change rien mais je suppose que $f$ est positive en réalité ?

Il me semble possible de piocher une fonction de répartition $F : [0;1] \to [0;1]$.

Je commence par piocher $F(\frac{1}{2})$ uniformément entre 0 et 1.

Puis je pioche
$F(\frac{1}{4})$ uniformément entre $0$ et $F(\frac{1}{2})$.
$F(\frac{3}{4})$ uniformément entre $F(\frac{1}{2})$ et $1$.

Puis je pioche
$F(\frac{1}{8})$ uniformément entre $0$ et $F(\frac{1}{4})$.
$F(\frac{3}{8})$ uniformément entre $F(\frac{1}{4})$ et $F(\frac{1}{2})$.
$F(\frac{5}{8})$ uniformément entre $F(\frac{1}{2})$ et $F(\frac{3}{4})$.
$F(\frac{7}{8})$ uniformément entre $F(\frac{3}{4})$ et $1$.

et ainsi de suite.

Quelle est la loi de l'espérance associée $\int_0^{1} (1-F)$ ?
(Quelle est la loi de la fonction de répartition limite ?)

Tu as l'air plus malin que moi, Ponctuel.

Je ne sais pas quelle est la loi de l'espérance.

Simulation Scilab : (assez lente pour $N=6$, baissez un peu)

N = 6              // nombre d'itérations (passage à la limite)
R = 10^6           // taille de l'échantillon
z = zeros(R,1)
F = zeros(R,2^N)   // contiendra R issues de fdr aléatoires
F(:,$)=1
for k=N-1:-1:0
  p = 2^k
  t = F(:,2*p:2*p:2^N)
  tt=[z,t(:,1:$-1)] 
  d = t - tt       // anciens sauts empiriques
  s = rand(d) .* d // sauts aléatoires
  i = tt + s
  F(:,p:2*p:2^N) = i
end
m = mean(F,"c")
clf()
histplot(linspace(0,1),m)

J'obtiens l'histogramme suivant pour l'espérance :

Hum...
$$ F\longmapsto (x\mapsto 1-F(1-x))$$

Non, ce n'est pas ce que je veux dire.

Bonjour.

Le processus de Marsup définit-il un choix uniforme des fonctions de répartition ? Ce n'est pas évident. Intuitivement, certains types de fonctions de répartition sont plus fréquents, de la même façon que la planche de Galton ne donne pas une répartition uniforme, mais approximativement binomiale.
Attention, dans les dessins, les courbes ne sont que des jonctions de points, seuls les points sont obtenus par le programme, et les traits ne correspondent à rien.
Mais c'est une tentative intéressante :-)

Cordialement.

Dans mon exemple ci-dessus, l'espérance a plutôt l'air d'être une variable à densité, en effet.

Tu as les idées claires sur ce qu'est une variable aléatoire à densité ?

C'est une notion de base que tu devrais sans doute réviser avant de passer trop de temps sur une question aussi ambitieuse que celle que tu poses.

@gerard0 bien évidemment, je ne prétends pas du tout que l'approche que je propose soit uniforme en un certain sens. C'est juste le premier truc faisable qui me soit passé par la tête.

C'est un approche vaguement inspirée de la construction du mouvement brownien.

Marsup,

lma critique est facile, mais l'art est difficile. Et je n'ai rien trouvé à proposer de mieux !! Pour aller plus loin, est-on fondé à penser que la fonction de répartition se construit bien sur les réels qui restent en utilisant la continuité à droite ?

Cordialement.

Spontanément, j'aurais pensé que la limite aurait été continue.

Maintenant que j'ai écrit la simulation, je ne suis plus si sûr, parce qu'il y a des sacrées pentes dans les fonctions de répartition affines par morceaux $F_n$, comme on le voit en regardant les densités en escalier $f_n$.

J'ai l'impression que se prononcer dans un sens ou dans l'autre sur la continuité de la limite est trop technique pour moi. X:-(

1°) Soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé. Les variables aléatoires (à valeurs réelles) définies sur $\Omega$ sont par définition les fonctions de $\Omega$ dans $\R$ mesurables (lorsqu'on met sur $\R$ la tribu borélienne).

2°) Soient $a,b\in \R$ tels que $a\leq b$. Soit $X:\Omega \to \R$ une variable aléatoire. On suppose que l'enemble des $\omega\in \Omega$ tels que $X(\omega) >b$ ou $X(\omega)<a$ est de mesure nulle (ce qu'on traduit par la formulation "presque sûrement $a\leq X \leq b$"). alors $X$ est intégrable et $a \leq \int_{\Omega} x(\omega) dP_{\omega}\leq b$. Le réel $\int_{\Omega} x(\omega) dP_{\omega}$ est appelé habituellement "espérance de $X$" et se note $E(X)$ (ou $EX$ ou $\mathbb E (X)$... il y a plusieurs graphies différentes.)

3°) Soit $F$ un énoncé (une formule du premier ordre) dont les variables libres sont parmi $t_1,...,t_n,x$. Soit $U$ un ensemble. Alors pour tous $t_1,...,t_n$, il existe un ensemble $V$ tel que pour tout $z$, $z\in V$ si et seulement si $z \in U$ et $F(t_1,...,t_n,z)$ est satisfaite. Ce mode de construction de parties de $U$ s'appelle "schéma de compréhension".

4°) On se place dans la situation décrite au 2°). Les variables libres de $"a \leq E(X) \leq b"$ sont contenues dans $a,X,b,z$ d'où, pour tout $X$ un ensemble $W$ des $\{z\in \Omega \mid a \leq E(X) \leq b\}$ qui, lorsque $X$ est une variable aléatoire comprise presque sûrement entre $a$ et $b$, s'avère être $\Omega$ lui-même (puisque l'inégalité correspondante est toujours satisfaite, cf 2°)
On a donc: $W$ mesurable (puisqu'égal à $\Omega$ et de mesure de probabilité $1$)

5°) Finalement vu 4°), il est vrai que "si $X$ est une variable aléatoire comprise entre $a$ et $b$, alors la probabilité que $E(X)$ soit elle aussi comprise entre $a$ et $b$ vaut $1$" cependant cette formulation peut sembler abconse, l'événement en question n'ayant rien d'incertain. Rappelons tout de même que le paradigme probabiliste prévoit de traiter d'événements déterministes (les mesures de probabilié pouvant prendre la valeur 1 ou 0).

Le vrai message intéressant ici est celui qui est contenu dans 2°). (qui est un résultat de théorie de la mesure. J'adresse toutes mes condoléances aux enseignants qui sont obligés de le traiter-ou en tout cas d'en parler- dans les limites absurdes du programme: interdiction de la théorie de la mesure, uniquement des densités etc... je suis bien content de ne pas être étudiant aujourd'hui. Ceci était un avis personnel qui n'engage que moi)

Bonne soirée.