Loi d'une variable aléatoire

Bonsoir,

J'ai un exercice corrigé sur les lois de variables aléatoires. Je ne comprends pas bien comment on trouve les lois à partir de la définition usuelle qui est :
La loi de $X$ est la mesure définie sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ par $P_X(B) = P(X \in $

Dans cet exercice $\Omega = (0,1)$, la tribu $\mathcal{A}$ est celle des boréliens et la probabilité $P$ est la mesure de Lebesgue.

On pose $Y(w) = 1-w$. Montrer que $Y$ est une variable aléatoire et donner sa loi.
$Y$ est continue donc mesurable, c'est une variable aléatoire, ici OK. Cependant, pour la loi, ils trouvent : $P(Y \leq t) = \begin{cases}
0 & \text{ si } t \leq 0 \\
t & \text{ si } t \in (0,1) \\
1 & \text{ si } t \geq 1
\end{cases}$

Je ne vois pas du tout comment ils ont trouvé ce résultat...

De la même manière, on nous dit ensuite que $\{A_n\}_{n=1,2...}$ est une suite d'intervalles disjoints tels que $P(A_j) = 2^{-j-1}$. On doit expliquer pourquoi $A = \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j$ est un événement et donner la loi de la variable aléatoire $1_A$.
La première partie de la question est claire pour moi. En effet une union dénombrable de boréliens est un borélien donc $A$ est bien un événement comme demandé.

Ils trouvent que $1_A$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $1/2$...
Quelqu'un pourrait m'expliquer ces deux points ?
Merci beaucoup d'avance, je suis un peu perdue là...

Je lui en serais très reconnaissante !