Espaces métriques mesurés

Réponses

• Foys

  March 2018

  Quand on met une structure d'espace mesurable sur un espace métrique $(E,d)$ (c'est-à-dire une tribu $\mathcal A$ sur $E$ et une mesure sur $\mathcal A$), on exige que $\mathcal A$ soit la tribu borélienne de $E$, afin d'avoir un certain nombre de résultats utiles ou même éclairants.
  
  En effet avec ce choix:
  1°) Soient $(E,d),(F,\delta)$ deux espaces métriques et $\mathcal B_E,\mathcal B_F$ deux espaces métriques. Alors toute application continue de $E$ dans $F$ est alors mesriables pour ces tribus (cet énoncé est en fait vrai pour des espaces topologiques).
  
  2°) Soient encore $(E,d),(F,\delta)$ deux espaces métriques et $(f_n)_{n \in \N}$ une suite d'applications mesurables de $E$ vers $F$, convergeant simpleme,nt vers une fonction $f:E \to F$. Alors $f$ est également mesurable.
  
  3°) On a des résultats de régularité assez simples par exemple; supposons que $\mu$ soit une mesure finie (borélienne) sur l'espace métrique $(E,d)$. Soit $\mathcal C$ l'ensemble des parties $X$ de $E$ telles que pour tout $\varepsilon >0$, il existe un ouvert $V$ de $(E,d)$ et un fermé $F$ de $(E,d)$ tels que $F \subseteq X \subseteq V $ et $\mu(V \backslash F)<\varepsilon$. Alors $\mathcal C$ est une trbu contenant les fermés de $(E,d)$ et par suite toute la tribu borélienne.
  
  4°) Soit $(E,d)$ un espace métrique. Alors le plus petit ensemble de fonctions de $E$ dans $\R$ stable par limite simple et contenant les fonctions continues est l'ensemble des fonctions boréliennes.

  Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  
• xvi

  March 2018

  Et donc je dois comprendre que l'on demande juste que la mesure soit définie sur la tribu borélienne ?
• Georges Abitbol

  March 2018

  Je me demande si je n'ai pas vu une définition, un jour, qui faisait intervenir une condition d'additivité avec, au lieu de l'hypothèse de disjonction, une hypothèse métrique, mais je ne sais plus trop...