Convolution de v.a. de lois uniformes
Bonjour à vous.
Je viens en désespoir car je travaille sur le livre de mathématiques de l'assurance non-vie de Arthur Charpentier, je n'arrive pas à résoudre cet exercice (qui est bien entendu non corrigé).
Soit $X_1,\ldots,X_n$ variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme $U(0,1)$.
Vérifier que : $P(X_1+\cdots+X_n\leq x)=\dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k {n\choose k}(x-k)_+^n$ avec, $0\leq x \leq n$
et $(x-k)_+=\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \mbox{si } x <k \\
x-k & \mbox{sinon.}
\end{array}
\right.$
En première tentative, j'aurais essayé $P(S\leq s)$ with avec $S=\sum_{i=1}^{n}X_i$.
J'avoue mon impuissance à savoir comment calculer une telle convolution ? Si je traduisais en intégrale j'aurais la suivante : $$
\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X_1}(x_1)\ldots f_{X_n}(x_n)dx_1\ldots dx_n
$$ Si j'avais seulement $X_1$ et $X_2$ à additionner pour trouver la fonction de répartition de la somme $X_1 +X_2$, j'aurais une intégrale de la fonction de densité de la somme qui serait : $$\int_{0}^{z}f_{X_1}(z-v)f_{X_2}(v)dv
$$ Pour la somme de 2 variables uniformes $U[0,1]$, pas de soucis par contre, à la suite de la première question il serait naturel de calculer via une récurrence la somme sur $n$ de ces variables aléatoires. Sauf que je ne vois vraiment pas comment procéder.
J'aurais tenté au début une récurrence en initialisant avec mes 2 variables aléatoires sauf que je ne tombe pas sur le même résultat.
Je viens en désespoir car je travaille sur le livre de mathématiques de l'assurance non-vie de Arthur Charpentier, je n'arrive pas à résoudre cet exercice (qui est bien entendu non corrigé).
Soit $X_1,\ldots,X_n$ variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme $U(0,1)$.
Vérifier que : $P(X_1+\cdots+X_n\leq x)=\dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k {n\choose k}(x-k)_+^n$ avec, $0\leq x \leq n$
et $(x-k)_+=\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \mbox{si } x <k \\
x-k & \mbox{sinon.}
\end{array}
\right.$
En première tentative, j'aurais essayé $P(S\leq s)$ with avec $S=\sum_{i=1}^{n}X_i$.
J'avoue mon impuissance à savoir comment calculer une telle convolution ? Si je traduisais en intégrale j'aurais la suivante : $$
\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X_1}(x_1)\ldots f_{X_n}(x_n)dx_1\ldots dx_n
$$ Si j'avais seulement $X_1$ et $X_2$ à additionner pour trouver la fonction de répartition de la somme $X_1 +X_2$, j'aurais une intégrale de la fonction de densité de la somme qui serait : $$\int_{0}^{z}f_{X_1}(z-v)f_{X_2}(v)dv
$$ Pour la somme de 2 variables uniformes $U[0,1]$, pas de soucis par contre, à la suite de la première question il serait naturel de calculer via une récurrence la somme sur $n$ de ces variables aléatoires. Sauf que je ne vois vraiment pas comment procéder.
J'aurais tenté au début une récurrence en initialisant avec mes 2 variables aléatoires sauf que je ne tombe pas sur le même résultat.
Réponses
-
Est-ce que tu as dérivé la fonction de répartition $F_n$ donnée pour trouver la densité associée $f_n$ ?
Si tu as ça, il ne reste qu'à calculer la convolée avec la densité uniforme $f_n * f_u$, et essayer de retrouver $f_{n+1}$. -
Merci beaucoup pour ta réponse.
Si je calcule $f_n$ par rapport à ma fonction de répartition du départ j'obtiens : $$f_n = \frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=0}^{n-2}(-1)^k {{n-1}\choose{k}}(x-k)_{+}^{n-1},
$$ soit si je calcule la convolution : $$F_{n+1}=\int_{\mathbb{R}} f_n*f_u=\int_{\mathbb{R}} f_n * \mathbb{1}_{[0;1]}=\int_{0}^{1} f_n(z-x)dx = \frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=0}^{n-2}{{n-1}\choose{k}}(-1)^k\int_{0}^{1}\big((z-x)-k\big)_{+}^{n-1}dx$$ (par Fubini pour la somme devant l'intégrale),
Mais après je retrouve bien le résultat mais j'ai l'impression d'utiliser le résultat pour le redémontrer. -
Une solution me paraît d'être l'utilisation d'une récurrence via un conditionnement. Je développe :
Pour $n = 1$ la formule fonctionne.
Supposons le résultat vrai pour un certain entier naturel non nul $n$. Alors : $$
\mathbb{P}(X_1 + \dots +X_{n+1} \leq x) = \mathbb{P} (X_1 + \dots + X_n \leq x - X_{n+1}) .
$$ À ce stade, et en supposant que vous connaissez un peu de choses sur les conditionnements, on obtient (je note les combinaisons $C^k_n$) : \begin{align*}
\mathbb{P} (X_1 + \cdots + X_n \leq x - X_{n+1}) &= \int_0^1 \mathbb{P}(X_1 + \cdots + X_n \leq x - y) dy \\
&= \int_0^1 \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n-1} C^k_n (-1)^k (x - y - k)_{+}^n \\
&= \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n-1} C^k_n (-1)^k \int_0^{x - k} (x - y - k)^n dy \\
&= \frac{1}{(n+1)!} \sum_{k = 0}^{n-1} C^k_n (-1)^{k+1} (x - k)^{n+1}
\end{align*} et le résultat devrait suivre (je complète dès que j'ai le temps).
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