Brownien au marché
Bonjour à tous
Voici un petit exercice que je voulais partager.
Un père a perdu son fils dans un marché qu'on suppose rectangulaire de côtés $\alpha,\beta.$ Le fils pour ne pas se perdre dans la foule attend son père dans un coin du marché.
La question est la suivane: Combien de temps au plus le fils doit-il attendre pour que son père le retrouve ? (Comme d'habitude en probabilités, combien de temps en moyenne)
Voici un petit exercice que je voulais partager.
Un père a perdu son fils dans un marché qu'on suppose rectangulaire de côtés $\alpha,\beta.$ Le fils pour ne pas se perdre dans la foule attend son père dans un coin du marché.
La question est la suivane: Combien de temps au plus le fils doit-il attendre pour que son père le retrouve ? (Comme d'habitude en probabilités, combien de temps en moyenne)
Réponses
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Comme d'habitude en probabilités, si on ne précise pas le modèle probabiliste utilisé on peut trouver toutes les réponses qu'on veut (https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Bertrand).Krokop a écrit:Comme d'habitude en probabilités, combien de temps en moyenne -
Ne faut-il pas donner la manière dont le père cherche son fils pour répondre à la question ?
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Skyffer3, le cadre est bien défini. Le marché est fixé, le fils aussi. L'aléatoire c'est le père.
Le titre donne la manière dont le père cherche son fils, il est hautement stressé--> on assimile sa marche à un mouvement brownien deux dimensionnel. -
Bah étant donné que le mouvement brownien est non borné, non le cadre n'est pas bien défini. On fait quoi si le brownien sort du marché ?
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Justement le but du jeu c'est de montrer que le temps n'est pas infini. Essaye de réfléchir un peu avant de poster.
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Essaye de comprendre que ton problème est mal posé avant de penser que les autres ne comprennent rien. Tu n'as pas donné tout le modèle.
Le père a le droit de sortir du marché ? (ce serait sacrément con) Sinon que fait-il quand le brownien sort du bord ? -
Si les points n'ont pas d'épaisseur, il me semble que le père ne retrouvera jamais son fils.
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Comment tu prouves qu'un brownien standard 2d ne passe presque sûrement jamais en un point donné ? (sauf l'origine puisqu'il part de là)
C'est ce que j'avais aussi écrit mais j'ai eu un doute ... -
Bon déjà ta façon de venir parler ne donne pas du tout envie de te répondre (dès ton premier message). Ensuite, tu sors des arguments comme une mitraillette sans avoir réfléchi sérieusement. C'est ça qui me gêne, au lieu de réfléchir pour essayer de poser le modèle adéquat.
Ok tel que je l'ai écrit ce n'est pas précis (de manière académique) mais c'est le but du jeu.
C'est comme si à la question: Je prends un homme qui marche aléatoirement dans $\Bbb{R}^2$. Une zone (sous forme de disque) est interdite aux piétons sous risque d'être infecté par une maladie mortelle. L'homme va-t-il finir ou non par entrer dans la zone ? Que vas-tu répondre ? Les mêmes arguments car tu ne veux pas essayer le jeu.
Par contre si je dis: Soit $K:\{x\in \Bbb{R}^2, \Vert x\Vert<R \}.$ Soient $x\notin K$ et $\tau_K=\inf\{t>0: x+B_t\in K\}.$ Montrer que $\mathcal{P}^x(\tau_K<\infty)=1.$ C'est bon tu seras content ? Oui mais dans ce cas le problème perd toute sa saveur. En gros le mouvement brownien est récurrent. -
Skyffer, tu parles de l'événement $\{t: B_t=x\}$ pour $x\in R$ ? C'est de probabilité $1$.
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Je parle de l'événement $\{\omega\in\Omega \mid \exists t, B_t(\omega) =x\}$ pour $x\in\R^2$, si c'est bien mesurable.
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C'est fou ce que les auteurs de problèmes mal posés deviennent agressifs quand on leur demande des précisions.
Autre écueil : "Combien de temps au plus..." suivi de : "Comme d'habitude en probabilités, combien de temps en moyenne"
Ne sens-tu pas une légère contradiction ?
Ne crois-tu pas que les "habitudes" que tu as prises sont à revoir ? -
Je ne vois pas de demande de précision de la part de Skyffer. J'ai rajouté le "en moyenne" pour signifier qu'on cherche l'espérance et le "au plus" signifie une majoration de cette espérance. Mes habitudes c'est d'être poli, même quand je pense qu'un énoncé est mal écrit ou mal pensé.
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Bonjour Kropkrop,
le marché est-il, avec ou sans, absence d'opportunité d'arbitrages.
Le ou c'est le même que dans : "on recherche une secrétaire qui parle français ou polonais".
La logique est classique : l'absence d'absence est une présence.
J'ai l'impression que tu trouves la solution jolie (la forme de l'intégrale ou autre) à un problème auquel on doit faire l'effort de rentrer dans le moule de la résolution formelle pour y aboutir. Je trouve le problème pourri en terme de formulation.
S -
Bonsoir Samok,
Oui tu peux le trouver pourri, aucun problème. Ce n'est pas ce qui est en cause ici. Bref. J'ai détaillé une formulation d'un autre problème, ici c'est pareil. Mais bon le fil a été tué.
[Et le fils définitivement perdu ? :-) AD] -
Mmmh, moi je trouve que ça demandais quand même des précisions, ce problème. Ton énoncé formel est quand même pas mal différent de ton énoncé de départ. Déjà tu introduis la variable $R$ et la variable $x$; jusqu'à présent tu n'avais pas dis où commençait le père ni ce que signifiait "trouver le fils". Dans ton premier message tu parles de trouver une espérance et dans la formulation formelle tu parles juste de montrer que le temps d'attente est presque sûrement fini, c'est quand même pas pareil ! D'ailleurs tu n'as toujours pas répondu à la question de Skyffer, comment fais-tu pour continuer le mouvement brownien si jamais il atteint le bord du rectangle ? (moi j'aurais tendance à procéder par réflexion, mais c'est juste une vague idée).
Enfin bref au départ moi je pensait que le père trouvait le fils quand le mouvement brownien était exactement sur le point du fils (comme skyffer donc je crois). J'ai un peu cherché (sur internet) dans cette direction, et à ma surprise je n'ai pas trouvé la dimension de Hausdorff du graphe d'un mouvement brownien en dimension 2, ni l'indice de Hölder de la fonction $t\mapsto B_t$. Si quelqu'un a la réponses à ces questions...
Edit : la bonne blague @AD (:D -
Que ce soit clair, je trouve le problème hyper mal formulé, mais je n'ai jamais voulu te manquer de respect, même si j'ai été direct. Je n'avais même pas compris que la modélisation faisait partie du problème vu que tu affirmais que le cadre était bien défini, et j'ai posé une question claire sur les bords qui est restée sans réponse.
@mojojojo : si on me demande de modéliser à partir de ce qui s'est dit, j'aurais aussi procédé par réflexion sur le mur.
Pour le reste, je n'ai en fait aucune idée de si un mouvement brownien de dimension strictement supérieure à 1 passe presque sûrement jamais ou pas en un point donné. Je ne sais même pas si l'ensemble dont je parlais dans mon précédent message est mesurable :-D Au départ j'aurais dit que la probabilité est nulle de passer en un point donné, mais après tout il existe bien des surjections continues de $\R$ dans $\R^2$. -
Ton ensemble est égal à $$\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=1}^\infty\{\omega\in \Omega : \exists t\leq n, \|B_t-x\|\leq 2^{-k} \}$$
qui m'a l'air mesurable.
Petite explication : Si un évènement est dans $\bigcap_{k=1}^\infty\{\omega\in \Omega : \exists t\leq n, \|B_t-x\|\leq 2^{-k} \}$ alors il existe une suite de temps $t_k\in
[0;n]$ tels que $B_{t_k}\in B(x,2^{-k})$, quitte à extraire une sous suite on peut supposer $t_k$ convergente vers $t_\infty$ et alors par continuité de $t\mapsto B_t$ on a bien $B_{t_\infty}=x$. -
Joli, joli ! Si ce n'est que j'aurais remplacé $\exists t\leq n$ dans ton ensemble par $\exists t \in \mathbb Q \cap [0,n]$, pour rendre visible la mesurabilité.
Et alors, on sait dire quoi de la probabilité de cet événement ? J'hésite entre $0$ et $1$ :-D
Edit : d'ailleurs, pour être vraiment mesurable, j'ai l'impression qu'il faut encore restreindre notre ensemble aux $\omega$ tels que $t\mapsto B_t(\omega)$ est continue. En effet, les chemins ne sont continus que presque sûrement. -
Bah justement, rien ne dit qu'on se place sur la tribu de Lebesgue ? En probas j'ai d'ailleurs l'impression qu'on utilise beaucoup plus souvent la tribu borélienne, ne serait-ce que pour la définition de variables aléatoires ou de processus stochastiques, en tout cas dans mes bouquins.
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Bon j'ai trouvé une référence qui donne la réponse à ma question : presque sûrement la dimension de Hausdorff de l'ensemble $\{B_t : t\geq 0 \} $ et celle de l'ensemble $\{ (t,B_t) : t \geq 0 \}$ sont égales à $2$ et ce quelque soit la dimension $d\geq 2$ du mouvement brownien. Malheureusement cela ne répond donc pas à la question de savoir si $\mathbb P(\{ \omega\in \Omega : \exists t\geq 0 , B_t = x \})$ vaut $0$ ou $1$ ou autre chose dans le cas $d=2$. Moi je parie sur $0$, et en tout cas certainement pas quelque chose d'autre que $0$ ou $1$.
Si je ne dis pas de bêtises cela doit montrer qu'en dimension $2$ un mouvement brownien n'est presque sûrement pas Hölderien. -
Merci. Pour la question de la mesurabilité, voici quelques infos supplémentaires : https://math.stackexchange.com/q/1496437
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Un brownien de $R^2$ se fabrique à l'aide de deux browniens indépendants sur $R$. Les deux sont Hölder $\alpha$ pour $\alpha<1/2$ (enfin on peut se débrouiller pour).
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Pourquoi perdre son temps à chercher le gamin ? :-D Il n'avait qu'à écouter son père et ne pas s'éloigner (:P)
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Bonjour à tous,
Désolé pour le retard. effectivement peut-être que si on prend juste un coin ça pose problème. Dans ce cas on suppose le fils sur le bord du rectangle $\partial D.$
On assimile le mouvement du père qui démarre en un point intérieur de $D$ à un mouvement Brownien 2D. On prend alors le temps d'arrêt le premier instant où le Brownien touche le bord. Pour le temps d'arrêt on prend l'inf de deux temps d'arrêts indépendants qui sont les temps de sortie d'un intervalle pour un brownien 1D (car le brownien 2D est construit à partir de deux browniens 1D indépendants). On utilise la formule de Dynkin pour montrer que l'espérance est finie.
Pour la question de Skyffer, effectivement elle est intéressante mais c'est un autre modèle (plus réaliste oui): Celui où le brownien est réfléchi au bord et avec une fenêtre de vue autour du fils. Mais c'est bien plus difficile j'ai l'impression, en tout cas je ne sais pas si l'espérance est finie.
Bonne après-midi. -
Dans ta modélisation, on est d'accord que le père est assimilé à un point, et le fils à tout le bord du marché (et non pas à un point du bord, puisque tu regardes le temps d'arrêt pour arriver n'importe où sur le bord). Avoue que c'est un peu osé :-P
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B-)-
Oui skyffer, désolé je pensais que cela fonctionnait avec juste un point mais avec ta question que je n'avais pas vu (merci à majojojo) j'ai eu un doute et indeed... encore désolé! -
Merci beaucoup ! (tu)
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Merci à toi sinon je n'aurais jamais su tout ça (ce qui permet de se poser pleins de questions).
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Merci pour les informations, krokop et aléa.
Je me suis donc trompé pour le lien entre indice de Hölder et dimension de Hausdorff de l'image de la fonction. Je vais y réfléchir. -
Bon voilà ce que j'avais en tête pour la dimension de Hausdorff et autre.
Soit $f : [0;1] \to \mathbf R^d$ une fonction $\alpha$-hölderienne, il existe alors deux réels $C,\delta>0$ tels que $|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<C |x-y|^\alpha$. Pour tout entier $n\geq 1/\delta$ on va alors avoir que $$\{f(x) \in \mathbf R^d : x\in [0;1] \}\subset \bigcup_{i=0}^{n-1} B(f(i/n),Cn^{-\alpha}) $$
Et on a $\sum \mathrm{diam}(B(f(i/n),Cn^{-\alpha}))^s=n(Cn^{-\alpha})^s=C^s\cdot n^{1-s\alpha}$ qui est bornée dès que $1/\alpha\leq s$. On en déduit donc que la dimension de Hausdorff de l'image de $f$ est plus petite que $1/\alpha$. Ici avec le mouvement Brownien on obtient donc que la dimension de Hausdorff de l'image (et du graphe) est inférieure ou égale à $2$ d'après ce qu'à dit Aléa.
Ça rejoint plus ou moins le fil sur la question d'une surjection $C^1$ de $\mathbf R$ dans $\mathbf R^2$.
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