Surjection $\R\to\R^2$ de classe $C^1$ ?

Krokop
Krokop
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous
Skyffer a rappelé dans un autre fil qu'il existe une fonction continue surjective de $\Bbb{R}$ dans $\Bbb{R^2}$. Je me pose la question de savoir si on prendre une fonction $C^1$ et surjective.

La réponse est me semble-t-il non en utilisant Baire, je n'ai pas vérifié les détails.

J'aimerais le montrer avec des arguments de la théorie de la mesure. Soit $f$ une telle fonction, est-ce-que $f(\Bbb{R})$ est de mesure de Lebesgue nulle ? Si oui alors c'est réglé.

Une tentative naive est que $f$ est localement lipschitzienne et que les fonctions lipschitziennes envoient tout ensemble de mesure nulle sur un ensemble de mesure nulle. Cependant, je ne vois pas comment utiliser cet argument.

edit Une tentative naive est que $f$ est localement lipschitzienne et que les fonctions lipschitziennes envoient tout ensemble de mesure nulle sur un ensemble de mesure nulle. Cependant, je ne vois pas comment utiliser cet argument.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Je disais surtout une surjection continue, sauf erreur de ma part.
  • Krokop
    Krokop
    Tu as supprimé mon EDIT AD ? Oui skyffer c'est un oubli. Merci

    [Nos corrections se sont entrechoquées. J'ai rétabli l'édit disparu. ;-) AD]
  • Foys
    Foys
    l'idée naïve va marcher.

    Soient $m<n$ entiers, $C\subseteq \R^m$ un hypercube de côté $r$ et $f:C\to \R^n$ lipschitzienne. Alors en découpant $C$ en $p^m$ petits cubes de côté $\frac{r}{m}$ on voit que l'image de $f$ est recouverte par $p^m$ objets de diamètre inférieur à $K\frac{r}{p}$ (avec $K$ indépendante de $p$), donc la mesure de $f(C)$ est inférieure à $Kp^m \frac{r^n}{p^n}$ et ce nombre tend vers $0$ quand $p$ tend vers l'infini.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Krokop
    Krokop
    Joli! J'aurais du faire plus de dessins. Bizarrement ça me fait penser à la démonstration du théorème de Sard.

    Merci!
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Si $f$ est surjective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^{2},$ comment se peut-il que $f(\mathbb{R})$ soit de mesure de Lebesgue nulle ???
    La régularité optimale d'une telle fonction est $\frac{1}{2}$-holdérienne (la courbe de Peano en est un exemple).
    Pour le prouver utilise cette technique de recouvrement...

    Cependant, on peut s'intéresser au cas où $f$ est injective et s'intéresser au problème dual en quelque sorte... Il y a des choses bien pathologiques également : Il existe des courbes de Jordan (appelé courbes de Osgood) qui sont de mesure de Lebesgue $2$ dimensionnelle strictement positive.
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