Fonction caractéristique
Soient $(\Omega,\mathfrak F, P)$ un espace probabilisé et $X: \Omega \to \mathbb R$ une variable aléatoire.
Soit $\Phi_{X}(x) = \mathbb E(e^{ix X})$ sa fonction caractéristique. Je voudrais montrer que $\Phi_{X}(x) $ est uniformémement continue.
Voilà ce que j'ai fait: pour $x,y\in \mathbb R$,
$$|\Phi_{X}(x) - \Phi_{X}(y)| = |E(e^{ix X}) - E(e^{iy X}) |\leq \int_{\mathbb R} |e^{ix t}- e^{iy t}| dP_{X}(t) ... ?$$
Merci d'avance
Soit $\Phi_{X}(x) = \mathbb E(e^{ix X})$ sa fonction caractéristique. Je voudrais montrer que $\Phi_{X}(x) $ est uniformémement continue.
Voilà ce que j'ai fait: pour $x,y\in \mathbb R$,
$$|\Phi_{X}(x) - \Phi_{X}(y)| = |E(e^{ix X}) - E(e^{iy X}) |\leq \int_{\mathbb R} |e^{ix t}- e^{iy t}| dP_{X}(t) ... ?$$
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Réponses
Difficile de donner une indication sans donner la réponse.. qu'est-ce tu veux ? $\vert x-y\vert$. Ne vois-tu pas comment faire ? Indication: ne cherche pas compliqué.
Une fois que tu as l'idée tu verras qu'il y a un $t$ qui traine, pour le virer utilise une propriété de décroissance des proba...
Comme dit Krokop, quand on veut comparer $|e^{ix}-e^{iy}|$ et $|x-y|$, un théorème bien connu doit venir à l'esprit très vite.
Dans le cas $X$ non nécessairement intégrable, c'est plus subtile me semble-t-il. Il faut écrire $|e^{itx} - e^{ity}| = |e^{itx}(1-e^{it(y-x)})| = |1-e^{it(y-x)}|$. Puis on applique le critère séquentiel de la continuité uniforme, en utilisant le théorème de convergence dominée.
Quant au critère séquentiel de continuité uniforme : une fonction $f: I \to \mathbb R$ ou $\mathbb C$ est uniformément continue si et seulement si pour toutes suites $x_n,y_n$ de $I$, $x_n-y_n \to 0$ implique $f(x_n) - f(y_n) \to 0$.
Pour la convergence (et plus généralement la topologie) dans les espaces métriques, les critères séquentiels sont très pratiques.