Multiplicativité de l’espérance
Bonjour tout le monde,
On connaît la propriété multiplicative de l'espérance.
Pour deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes $X,Y$, On a $E(XY)=E(X)E(Y)$
Je souhaite démontrer ce résultat en utilisant la définition de l'espérance. $$
\begin{align*}
E(XY)&=\sum_{x\in XY(\Omega)}xP(XY=x) \\
&=\sum_{\substack{x_1\in X(\Omega)\\x_2\in Y(\Omega)}}x_1x_2P(XY=x_1x_2) \\
&=\sum_{x_1\in X(\Omega)}x_1\sum_{x_2\in Y(\Omega)}x_2P(XY=x_1x_2)
\end{align*}
$$ Le petit passage $P(XY=x_1x_2)=P(X=x_1\cap Y=x_2)$ est-il autorisé ?
parce que généralement l'implication $ab=xy \Rightarrow a=x$ et $b=y$ est fausse
Si il est autorisé, avec l'indépendance de $X$ et $Y$, le résultat est satisfait.
C'est cette transition qui me turlupine.
Cordialement.
On connaît la propriété multiplicative de l'espérance.
Pour deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes $X,Y$, On a $E(XY)=E(X)E(Y)$
Je souhaite démontrer ce résultat en utilisant la définition de l'espérance. $$
\begin{align*}
E(XY)&=\sum_{x\in XY(\Omega)}xP(XY=x) \\
&=\sum_{\substack{x_1\in X(\Omega)\\x_2\in Y(\Omega)}}x_1x_2P(XY=x_1x_2) \\
&=\sum_{x_1\in X(\Omega)}x_1\sum_{x_2\in Y(\Omega)}x_2P(XY=x_1x_2)
\end{align*}
$$ Le petit passage $P(XY=x_1x_2)=P(X=x_1\cap Y=x_2)$ est-il autorisé ?
parce que généralement l'implication $ab=xy \Rightarrow a=x$ et $b=y$ est fausse
Si il est autorisé, avec l'indépendance de $X$ et $Y$, le résultat est satisfait.
C'est cette transition qui me turlupine.
Cordialement.
Réponses
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Ce passage est évidemment interdit, parce que faux, comme tu l'as toi même remarqué.
Mais de toute façon ta deuxième égalité est déjà fausse. Vois-tu pourquoi ? Corrige la deuxième ligne, et le résultat tombe tout seul si je ne m'abuse. -
Désolé de te décevoir skyffer3, mais je n'ai pas pu savoir mon erreur dans la deuxième ligne.
J'ai juste décomposé la somme sur les éléments de $XY(\Omega)$ en fixant une variable et en sommant sur l'autre puis inversement. -
Tu peux démontrer ta deuxième égalité ? Tu verras bien qu'il y a un passage où ce sera flou 8-) Si on doit agiter fort les bras pour se convaincre d'un truc qu'on n'arrive pas à poser hyper proprement, c'est que généralement il y a un loup.
Elle est fausse, parce que tu sommes plusieurs fois la même chose. Si tu prends $X$ et $Y$ de même loi par exemple (c'est juste pour qu'elles aient même support dans mon exemple). Si j'appelle $x$ le produit $x_1 x_2$, toi tu sommes dans ta deuxième égalité deux fois $x$, une fois lorsque $X=x_1$ et $Y=x_2$, mais encore une fois lorsque $X=x_2$ et $Y=x_1$, alors que pourtant ta probabilité $\mathbb P(XY = x_1 x_2)$ cumule déjà ces deux cas possibles, et en fait cumule tous les cas où $XY = x_1 x_2$ qu'importe ce que valent $X$ et $Y$ tous seuls. -
En vrai j'ai compris mon erreur.. mais je ne vois toujours pas comment la corriger ! C'est frustrant...
-
Tu pourrais m'en dire un peu plus s'il te plaît ...
-
Bruce qu'est-ce que ça veut dire $x\in XY(\Omega)$? Tu devrais écrire pour que ça ait un sens $(X,Y)(\Omega):=\{(X(\omega),Y(\omega)), \omega\in \Omega\}.$
Tu regardes le vecteur $(X,Y)$! -
Ah d'accord !
-
Je note l'ensemble des produits possibles : $XY(\Omega) = \{ X(\omega)Y\omega) \mid \omega \in \Omega\}$ (comme tu sembles l'avoir fait, du coup je ne comprends pas la remarque de krokop), qui est dénombrable (où en tout cas est égal à un dénombrable à un négligeable près, on évacue les problèmes de ce genre). Je calcule sans me soucier des soucis de convergence, comme dans le cas fini.
Alors voici la façon de faire apparaître le truc proprement (c'est long mais vraiment direct, la seule idée à avoir est ligne 2, c'est juste que j'ai fait une seule étape à chaque ligne au lieu d'en faire 3 d'un coup) :
\begin{align*}
\mathbb E(XY) &= \sum_{x\in XY(\Omega)} x \mathbb P(XY = x) \\
&= \sum_{x\in XY(\Omega)} x \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} \mathbb P(XY = x, X = x_1, Y=x_2) \text{ formule des probabilités totales je crois que ça s'appelle} \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} \sum_{x\in XY(\Omega)} x \mathbb P(XY = x, X = x_1, Y=x_2) \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} x_1 x_2 \mathbb P(XY = x_1 x_2, X = x_1, Y=x_2) + \sum_{x\in XY(\Omega) \setminus \{x_1 x_2\}} x \mathbb P(XY = x, X = x_1, Y=x_2) \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} x_1 x_2 \mathbb P(XY = x_1 x_2, X = x_1, Y=x_2) + \sum_{x\in XY(\Omega) \setminus \{x_1 x_2\}} x \times 0 \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} x_1 x_2 \mathbb P(X = x_1, Y=x_2) \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} x_1 x_2 \mathbb P(X = x_1) \mathbb P(Y=x_2) \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega)} x_1 \mathbb P(X = x_1) \sum_{x_2\in Y(\Omega)} x_2 \mathbb P(Y=x_2) \\
&= \mathbb E(X) \mathbb E(Y)
\end{align*}
Et voilà ce qu'on obtient, sans avoir besoin de ventiler avec ses bras pour convaincre :-P -
Tous mes remerciements !
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Bonjour!
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