Multiplicativité de l’espérance
Bonjour tout le monde,
On connaît la propriété multiplicative de l'espérance.
Pour deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes $X,Y$, On a $E(XY)=E(X)E(Y)$
Je souhaite démontrer ce résultat en utilisant la définition de l'espérance. $$
\begin{align*}
E(XY)&=\sum_{x\in XY(\Omega)}xP(XY=x) \\
&=\sum_{\substack{x_1\in X(\Omega)\\x_2\in Y(\Omega)}}x_1x_2P(XY=x_1x_2) \\
&=\sum_{x_1\in X(\Omega)}x_1\sum_{x_2\in Y(\Omega)}x_2P(XY=x_1x_2)
\end{align*}
$$ Le petit passage $P(XY=x_1x_2)=P(X=x_1\cap Y=x_2)$ est-il autorisé ?
parce que généralement l'implication $ab=xy \Rightarrow a=x$ et $b=y$ est fausse
Si il est autorisé, avec l'indépendance de $X$ et $Y$, le résultat est satisfait.
C'est cette transition qui me turlupine.
Cordialement.
On connaît la propriété multiplicative de l'espérance.
Pour deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes $X,Y$, On a $E(XY)=E(X)E(Y)$
Je souhaite démontrer ce résultat en utilisant la définition de l'espérance. $$
\begin{align*}
E(XY)&=\sum_{x\in XY(\Omega)}xP(XY=x) \\
&=\sum_{\substack{x_1\in X(\Omega)\\x_2\in Y(\Omega)}}x_1x_2P(XY=x_1x_2) \\
&=\sum_{x_1\in X(\Omega)}x_1\sum_{x_2\in Y(\Omega)}x_2P(XY=x_1x_2)
\end{align*}
$$ Le petit passage $P(XY=x_1x_2)=P(X=x_1\cap Y=x_2)$ est-il autorisé ?
parce que généralement l'implication $ab=xy \Rightarrow a=x$ et $b=y$ est fausse
Si il est autorisé, avec l'indépendance de $X$ et $Y$, le résultat est satisfait.
C'est cette transition qui me turlupine.
Cordialement.
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Réponses
Mais de toute façon ta deuxième égalité est déjà fausse. Vois-tu pourquoi ? Corrige la deuxième ligne, et le résultat tombe tout seul si je ne m'abuse.
J'ai juste décomposé la somme sur les éléments de $XY(\Omega)$ en fixant une variable et en sommant sur l'autre puis inversement.
Elle est fausse, parce que tu sommes plusieurs fois la même chose. Si tu prends $X$ et $Y$ de même loi par exemple (c'est juste pour qu'elles aient même support dans mon exemple). Si j'appelle $x$ le produit $x_1 x_2$, toi tu sommes dans ta deuxième égalité deux fois $x$, une fois lorsque $X=x_1$ et $Y=x_2$, mais encore une fois lorsque $X=x_2$ et $Y=x_1$, alors que pourtant ta probabilité $\mathbb P(XY = x_1 x_2)$ cumule déjà ces deux cas possibles, et en fait cumule tous les cas où $XY = x_1 x_2$ qu'importe ce que valent $X$ et $Y$ tous seuls.
Tu regardes le vecteur $(X,Y)$!
Alors voici la façon de faire apparaître le truc proprement (c'est long mais vraiment direct, la seule idée à avoir est ligne 2, c'est juste que j'ai fait une seule étape à chaque ligne au lieu d'en faire 3 d'un coup) :
\begin{align*}
\mathbb E(XY) &= \sum_{x\in XY(\Omega)} x \mathbb P(XY = x) \\
&= \sum_{x\in XY(\Omega)} x \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} \mathbb P(XY = x, X = x_1, Y=x_2) \text{ formule des probabilités totales je crois que ça s'appelle} \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} \sum_{x\in XY(\Omega)} x \mathbb P(XY = x, X = x_1, Y=x_2) \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} x_1 x_2 \mathbb P(XY = x_1 x_2, X = x_1, Y=x_2) + \sum_{x\in XY(\Omega) \setminus \{x_1 x_2\}} x \mathbb P(XY = x, X = x_1, Y=x_2) \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} x_1 x_2 \mathbb P(XY = x_1 x_2, X = x_1, Y=x_2) + \sum_{x\in XY(\Omega) \setminus \{x_1 x_2\}} x \times 0 \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} x_1 x_2 \mathbb P(X = x_1, Y=x_2) \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega), x2\in Y(\Omega)} x_1 x_2 \mathbb P(X = x_1) \mathbb P(Y=x_2) \\
&= \sum_{x_1\in X(\Omega)} x_1 \mathbb P(X = x_1) \sum_{x_2\in Y(\Omega)} x_2 \mathbb P(Y=x_2) \\
&= \mathbb E(X) \mathbb E(Y)
\end{align*}
Et voilà ce qu'on obtient, sans avoir besoin de ventiler avec ses bras pour convaincre :-P