Suite de fonctions étagées
Bonsoir,
Je vais avoir plusieurs questions sur ce thème. Soit $f: (\Omega,\mathcal A)\rightarrow \overline {\mathbb R_{+}}$ mesurable positive. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $\alpha_n=\min (n,\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{B_i^n})$ avec $B_i^n=](i-1)2^{-n},i2^{-n}]$.
On pose ensuite, pour tout $n\in\mathbb N, e_n=\alpha_n\circ f$.
1) Montrer que pour tout $n, e_n$ est étagée positive.
2) Montrer que pour tout $n, e_n\leq e_{n+1}$.
3) Montrer que la suite $(e_n)$ converge simplement vers $f$.Mes réponses :
Déjà, on remarque que pour tout $n\in\mathbb N, e_n=\min (n, \sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)})$
1) Soit $n\in \mathbb N$. Les fonctions $n=n\mathbf 1_{\Omega}$ et $\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)}$ sont étagées positives (pour la seconde, parce que pour tout $i\geq 1, f^{-1}(B_i^n)\in\mathcal A$ (car $B_i^n$ est un borélien et $f$ est mesurable)). Donc, comme $\min (a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}$, $e_n$ est étagée positive.
2) Soit $n\in\mathbb N$. Je bloque. Il suffit de montrer que $\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)}\leq \sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-(n+1)}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^{n+1})}$ mais je ne vois pas comment.
Je vais avoir plusieurs questions sur ce thème. Soit $f: (\Omega,\mathcal A)\rightarrow \overline {\mathbb R_{+}}$ mesurable positive. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $\alpha_n=\min (n,\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{B_i^n})$ avec $B_i^n=](i-1)2^{-n},i2^{-n}]$.
On pose ensuite, pour tout $n\in\mathbb N, e_n=\alpha_n\circ f$.
1) Montrer que pour tout $n, e_n$ est étagée positive.
2) Montrer que pour tout $n, e_n\leq e_{n+1}$.
3) Montrer que la suite $(e_n)$ converge simplement vers $f$.Mes réponses :
Déjà, on remarque que pour tout $n\in\mathbb N, e_n=\min (n, \sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)})$
1) Soit $n\in \mathbb N$. Les fonctions $n=n\mathbf 1_{\Omega}$ et $\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)}$ sont étagées positives (pour la seconde, parce que pour tout $i\geq 1, f^{-1}(B_i^n)\in\mathcal A$ (car $B_i^n$ est un borélien et $f$ est mesurable)). Donc, comme $\min (a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}$, $e_n$ est étagée positive.
2) Soit $n\in\mathbb N$. Je bloque. Il suffit de montrer que $\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)}\leq \sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-(n+1)}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^{n+1})}$ mais je ne vois pas comment.
Réponses
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Pour ta question 1 c'est plus subtile que ça. Ce n'est pas une relation d'ordre sur deux réels mais sur deux fonctions, la fonction constante $n$ et $f_n=\sum_i (i-1)2^{-n}1_{f^{-1}(B_i^n)}$. Il n'y pas que deux cas possibles $f_n$ plus grand ou plus petit que $n$. Ce sont des fonctions, l'une peut être plus grande que l'autre pour certains $\omega$ et plus petites ailleurs. Donc ta disjonction de cas ne marche pas (ça n'aurait pas de sens de dire qu'elle est étagée pour certains $\omega$ puis pour d'autres, si tu peux pas recoller les bouts en une seule fonction étagée).
Il faut creuser un peu plus. Une façon de faire, démontrer que $e_n$ est mesurable (petite propriété sur le min de deux fonctions mesurables), puis démontrer que $e_n$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Pour la question 2, dessine tes intervalles $B$, dessine $f_n$ pour une fonction $f$. Une fois que tu auras compris visuellement ce que représente $f_n$ ce sera facile. -
J'ai édité pour le 1) (c'est bon comme ça ?) mais même si je vois visuellement que $(e_n)$ croît ça ne m'aide pas à le prouver formellement.
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Non c'est toujours faux. Pour commencer $f_n=\sum_i (i-1)2^{-n}1_{f^{-1}(B_i^n)}$ n'est pas étagée. Ensuite je doute que tu aies un théorème dans ton cours qui affirme directement que le min de deux fonctions étagées est étagée (même si c'est vrai). Mais même si c'était le cas ça ne change rien puisqu'une des deux fonctions de ton min n'est justement pas étagée. J'avais pourtant donné 99% si pas 100% de la solution.
Par ailleurs il est préférable de ne pas éditer mais de corriger dans un nouveau message. Sinon ceux qui lisent ensuite la conversation ne comprennent plus rien à mes commentaires. Et en plus je ne suis pas moi même à l'abri d'une erreur.
Pour la question 2, j'ai oublié de dire que pour bien visualiser $f_n$ (et $f_{n+1}$ !) il vaut mieux prendre $f$ croissante. La démonstration formelle est facile à partir du moment où tu comprends ce que représente $f_n(x)$. -
Ok je reviens au 1. Avec mes arguments plus haut, $n$ et $f_n$ sont mesurables positives donc le $\min$ des deux est mesurable positif d'où $e_n$ mesurable positive. Reste à montrer que $Im(e_n)$ est fini, mais ça je ne vois pas comment le prouver.
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Si tu ne vois pas comment le prouver c'est que contrairement à ce que tu affirmais pour la question 2 tu n'as pas du tout correctement visualisé la fonction $f_n$. C'est dommage.
Quelles sont les valeurs possibles de $f_n$ ? Combien de ces valeurs sont inférieures à $n$ ? As-tu réalisé que les intervalles $B_i^n$ sont disjoints (à $n$ fixé), et donc que la somme est juste une autre manière d'écrire ce que vaut $f_n$ dans chaque ensemble $f \in B_i^n$ ?
C'est pas que je ne veux pas t'aider. Mais j'ai l'impression que t'as pas (ou mal) dessiné $f$ et $f_n$ avec $f$ croissante. Pourtant ça débloquerait tout. -
Valeurs possibles de $f_n$ : $0,\dots, \frac{1}{2^n}, \frac{n2^n}{2^n}=n,\frac{n2^n +1}{2^n},\dots$
Combien de ces valeurs sont $\leq n$ : $n2^{n}+1$
Donc $Im(e_n)$ est de cardinal $\leq n2^n+1$ donc est fini donc $e_n$ étagée positive. -
Yes !!!
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Merci. Il me reste le 2., pour lequel je bloque encore.
2. Soient $n\in\mathbb N$ et $\omega\in\Omega$ fixés. Montrons que $f_n(\omega)\leq f_{n+1}(\omega)$ (qui entraînera $e_n(\omega)\leq e_{n+1}(\omega)$).
Les $B_i^n, i\geq 1$ forment un partage de $]0,+\infty]$.
1er cas : $f(\omega)=0$. Alors $f_n(\omega)=f_{n+1}(\omega)=0$.
2e cas : supposons $f(\omega)>0$. Il existe un unique $I\geq 1$ tel que $f(\omega)\in B_I^n$. Donc $f_n(\omega)=\frac{I-1}{2^n}$. Par contre, je n'arrive pas à comparer à $f_{n+1}(\omega)$, pour qui il existe aussi un unique $J\geq 1$ tel que $f_{n+1}(\omega)=\frac{J-1}{2^{n+1}}$. -
Quelqu'un pour m'aider à conclure le 2) ?
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Si $f(\omega) \in B_i^n$, alors quels sont les $j$ possibles tels que $f(\omega)\in B_j^{n+1}$ ?
Tu as compris qu'en passant de $n$ à $n+1$ on divisait nos intervalles par deux ? Et que sur chaque intervalle (dans l'image) on remplaçait $f$ par la borne inf de l'intervalle $B$ correspondant ? -
Par contre j'ai oublié de te dire, tu vas en ***** pour la question 3):-D $f_n$ est légèrement mal définie, de sorte que si $f=+\infty$ par exemple alors $e_n=0$ pour tout $n$ ... Il manque un truc à $f_n$, sauras-tu trouver quoi ?
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Merci, je pense avoir trouvé :
Pour rappel, on est dans le cas $f(\omega)>0$. Il existe un unique $I\geq 1$ tel que $f(\omega)\in B_I^n$, et donc $f_n(\omega)=\frac{I-1}{2^n}$.
Or $B_I^n=]\frac{2(I-1)}{2^{n+1}},\frac{2I-1}{2^{n+1}}]\sqcup ]\frac{2I-1}{2^{n+1}},\frac{2I}{2^{n+1}}]=B_{2I-1}^{n+1}\sqcup B_{2I}^{n+1}$.
Si $f(\omega)\in B_{2I-1}^{n+1}$ alors $f_{n+1}(\omega)=\frac{2(I-1)}{2^{n+1}}=\frac{I-1}{2^n}=f_n(\omega)$
Si $f(\omega)\in B_{2I}^{n+1}$ alors $f_{n+1}(\omega)=\frac{2I-1}{2^{n+1}}\geq \frac{I-1}{2^n}=f_n(\omega)$.
Donc $(f_n)$ est croissante.
Donc $(e_n)=(\min (n,f_n))$ est croissante. -
C'est ça (tu)
Et pour la question 3 je t'invite à être vigilant (cf message ci-dessus). Sois tu corriges $f_n$ en lui ajoutant un terme bien choisi, sois tu restreins $f$ à être dans $\mathbb R_+$. -
J'avoue ne pas trouver quel terme ajouter à $f_n$ pour ne pas devoir restreindre $f$ à valeurs dans $\mathbb R_+$
-
Tu ajoutes $+\infty \times 1_{f=+\infty}$ sauf erreur de ma part, avec la convention classique en théorie de la mesure que $0\times \infty =0$.
Tu peux aussi ajouter $n \times 1_{f=+\infty}$ à chaque $f_n$, ça donnera la la même fonction $e_n$.
Vois-tu pourquoi ça résout le problème ? -
Effectivement, ça marche, merci.
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