Suite de fonctions étagées
Bonsoir,
Je vais avoir plusieurs questions sur ce thème. Soit $f: (\Omega,\mathcal A)\rightarrow \overline {\mathbb R_{+}}$ mesurable positive. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $\alpha_n=\min (n,\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{B_i^n})$ avec $B_i^n=](i-1)2^{-n},i2^{-n}]$.
On pose ensuite, pour tout $n\in\mathbb N, e_n=\alpha_n\circ f$.
1) Montrer que pour tout $n, e_n$ est étagée positive.
2) Montrer que pour tout $n, e_n\leq e_{n+1}$.
3) Montrer que la suite $(e_n)$ converge simplement vers $f$.Mes réponses :
Déjà, on remarque que pour tout $n\in\mathbb N, e_n=\min (n, \sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)})$
1) Soit $n\in \mathbb N$. Les fonctions $n=n\mathbf 1_{\Omega}$ et $\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)}$ sont étagées positives (pour la seconde, parce que pour tout $i\geq 1, f^{-1}(B_i^n)\in\mathcal A$ (car $B_i^n$ est un borélien et $f$ est mesurable)). Donc, comme $\min (a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}$, $e_n$ est étagée positive.
2) Soit $n\in\mathbb N$. Je bloque. Il suffit de montrer que $\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)}\leq \sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-(n+1)}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^{n+1})}$ mais je ne vois pas comment.
Je vais avoir plusieurs questions sur ce thème. Soit $f: (\Omega,\mathcal A)\rightarrow \overline {\mathbb R_{+}}$ mesurable positive. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $\alpha_n=\min (n,\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{B_i^n})$ avec $B_i^n=](i-1)2^{-n},i2^{-n}]$.
On pose ensuite, pour tout $n\in\mathbb N, e_n=\alpha_n\circ f$.
1) Montrer que pour tout $n, e_n$ est étagée positive.
2) Montrer que pour tout $n, e_n\leq e_{n+1}$.
3) Montrer que la suite $(e_n)$ converge simplement vers $f$.Mes réponses :
Déjà, on remarque que pour tout $n\in\mathbb N, e_n=\min (n, \sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)})$
1) Soit $n\in \mathbb N$. Les fonctions $n=n\mathbf 1_{\Omega}$ et $\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)}$ sont étagées positives (pour la seconde, parce que pour tout $i\geq 1, f^{-1}(B_i^n)\in\mathcal A$ (car $B_i^n$ est un borélien et $f$ est mesurable)). Donc, comme $\min (a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}$, $e_n$ est étagée positive.
2) Soit $n\in\mathbb N$. Je bloque. Il suffit de montrer que $\sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-n}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^n)}\leq \sum_{i\geq 1}(i-1)2^{-(n+1)}\mathbf 1_{f^{-1}(B_i^{n+1})}$ mais je ne vois pas comment.
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Réponses
Il faut creuser un peu plus. Une façon de faire, démontrer que $e_n$ est mesurable (petite propriété sur le min de deux fonctions mesurables), puis démontrer que $e_n$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Pour la question 2, dessine tes intervalles $B$, dessine $f_n$ pour une fonction $f$. Une fois que tu auras compris visuellement ce que représente $f_n$ ce sera facile.
Par ailleurs il est préférable de ne pas éditer mais de corriger dans un nouveau message. Sinon ceux qui lisent ensuite la conversation ne comprennent plus rien à mes commentaires. Et en plus je ne suis pas moi même à l'abri d'une erreur.
Pour la question 2, j'ai oublié de dire que pour bien visualiser $f_n$ (et $f_{n+1}$ !) il vaut mieux prendre $f$ croissante. La démonstration formelle est facile à partir du moment où tu comprends ce que représente $f_n(x)$.
Quelles sont les valeurs possibles de $f_n$ ? Combien de ces valeurs sont inférieures à $n$ ? As-tu réalisé que les intervalles $B_i^n$ sont disjoints (à $n$ fixé), et donc que la somme est juste une autre manière d'écrire ce que vaut $f_n$ dans chaque ensemble $f \in B_i^n$ ?
C'est pas que je ne veux pas t'aider. Mais j'ai l'impression que t'as pas (ou mal) dessiné $f$ et $f_n$ avec $f$ croissante. Pourtant ça débloquerait tout.
Combien de ces valeurs sont $\leq n$ : $n2^{n}+1$
Donc $Im(e_n)$ est de cardinal $\leq n2^n+1$ donc est fini donc $e_n$ étagée positive.
2. Soient $n\in\mathbb N$ et $\omega\in\Omega$ fixés. Montrons que $f_n(\omega)\leq f_{n+1}(\omega)$ (qui entraînera $e_n(\omega)\leq e_{n+1}(\omega)$).
Les $B_i^n, i\geq 1$ forment un partage de $]0,+\infty]$.
1er cas : $f(\omega)=0$. Alors $f_n(\omega)=f_{n+1}(\omega)=0$.
2e cas : supposons $f(\omega)>0$. Il existe un unique $I\geq 1$ tel que $f(\omega)\in B_I^n$. Donc $f_n(\omega)=\frac{I-1}{2^n}$. Par contre, je n'arrive pas à comparer à $f_{n+1}(\omega)$, pour qui il existe aussi un unique $J\geq 1$ tel que $f_{n+1}(\omega)=\frac{J-1}{2^{n+1}}$.
Tu as compris qu'en passant de $n$ à $n+1$ on divisait nos intervalles par deux ? Et que sur chaque intervalle (dans l'image) on remplaçait $f$ par la borne inf de l'intervalle $B$ correspondant ?
Pour rappel, on est dans le cas $f(\omega)>0$. Il existe un unique $I\geq 1$ tel que $f(\omega)\in B_I^n$, et donc $f_n(\omega)=\frac{I-1}{2^n}$.
Or $B_I^n=]\frac{2(I-1)}{2^{n+1}},\frac{2I-1}{2^{n+1}}]\sqcup ]\frac{2I-1}{2^{n+1}},\frac{2I}{2^{n+1}}]=B_{2I-1}^{n+1}\sqcup B_{2I}^{n+1}$.
Si $f(\omega)\in B_{2I-1}^{n+1}$ alors $f_{n+1}(\omega)=\frac{2(I-1)}{2^{n+1}}=\frac{I-1}{2^n}=f_n(\omega)$
Si $f(\omega)\in B_{2I}^{n+1}$ alors $f_{n+1}(\omega)=\frac{2I-1}{2^{n+1}}\geq \frac{I-1}{2^n}=f_n(\omega)$.
Donc $(f_n)$ est croissante.
Donc $(e_n)=(\min (n,f_n))$ est croissante.
Et pour la question 3 je t'invite à être vigilant (cf message ci-dessus). Sois tu corriges $f_n$ en lui ajoutant un terme bien choisi, sois tu restreins $f$ à être dans $\mathbb R_+$.
Tu peux aussi ajouter $n \times 1_{f=+\infty}$ à chaque $f_n$, ça donnera la la même fonction $e_n$.
Vois-tu pourquoi ça résout le problème ?