Explication d'exercice
Bonjour tout le monde,
J'ai un petit exercice à faire mais que je ne vois pas du tout ce qu'on me demande. Pourriez vous me reformuler la question ?
Ex: On lance un dé équilibré, puis on lance une pièce de monnaie autant de fois que le nombre indiqué par le dé. Déterminez la moyenne de nombre de pile obtenue.
Est-ce qu'il s'agit de l'espérance ? Si c'est le cas, quelle est la variable aléatoire à choisir ?
Merci de me réexpliquer la question, pour que je puisse réfléchir à nouveau.
Cordialement
J'ai un petit exercice à faire mais que je ne vois pas du tout ce qu'on me demande. Pourriez vous me reformuler la question ?
Ex: On lance un dé équilibré, puis on lance une pièce de monnaie autant de fois que le nombre indiqué par le dé. Déterminez la moyenne de nombre de pile obtenue.
Est-ce qu'il s'agit de l'espérance ? Si c'est le cas, quelle est la variable aléatoire à choisir ?
Merci de me réexpliquer la question, pour que je puisse réfléchir à nouveau.
Cordialement
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Soit $X_n$ une suite de $6$ variables indépendantes (et indépendante de $D$) de Bernoulli de paramètre $1/2$. ($1$ peut correspondre à compter un pile, mais peu importe c'est symétrique)
Soit $Y=\sum_{n=1}^D X_n$.
1) Démontrer que $Y$ est une variable aléatoire.
2) Calculer l'espérance de $Y$.
1) la somme d'une suite de variables indépendantes de Bernoulli est une Variable binomiale de paramètre (n,p), l'espérance d'une variable binomiale $=np$.
Pourrais-tu me dire comment tu saisis le sens de l'exercice ?
Une manière plus terre-à-terre de répondre à cet exercice:
On note $D$ le numéro indiqué par le dé.
On note $X$ le nombre de Pile obtenus
1) Reconnaître la loi de $D$.
2) Reconnaître la loi de $X$ sachant $[D=k]$ et ce pour tout $k\in\{~1;...;6~\}$
3) En déduire la loi de $X$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
4) En déduire, en revenant à la définition, l'espérance de $X$.
5) Conclure.
L'espérance de $X$ est égale à $\dfrac{7}{4}$.
Qu'est-ce que l'exercice demande comme concept ?
je n'ai pas bien compris comment vous poser ces variables aléatoires $D,X_n,Y...$
Je ne sais même pas ce que l'exercice demande, oui c'est la moyenne d'avoir pile, mais celle-ci représente l'espérance d'une variable que j'ignore
@zeitnot : et même s'il n'est pas en troisième, ce raisonnement peut parfaitement se justifier mathématiquement. Mais il faut d'abord poser le problème comme j'ai fait par exemple.
@Bruce : $D$ c'est la variable du lancé de dé. $X_n$ c'est $1$ si le n-ième lancer de la pièce est pile, $0$ sinon.
$Y(\omega)$ c'est le nombre de piles qu'on obtient en lançant $D(\omega)$ fois la pièce. $D(\omega)$ c'est le résultat du dé.
Quel passage tu n'as pas suivi ?
$\displaystyle Y(\omega) = \sum_{n=1}^6 1_{n\leq D(\omega)} X_n(\omega)$, ce qui montre que $Y$ est une variable aléatoire (i.e. c'est bien mesurable).
De plus, $1_{n \leq D(\omega)} = 1_{[n,6]} (D(\omega))$, ce qui montre que $1_{n \leq D(\omega)}$ est une fonction de $D$, donc indépendante des $X_n$ (c'est la clef de l'argument).
Donc $\displaystyle \mathbb E[Y] = \sum_{n=1}^6 \mathbb E[1_{n \leq D(\omega)}] \mathbb E[X_n] = \sum_{n=1}^6 \mathbb P[n \leq D(\omega)] \times \dfrac{1}{2} = \mathbb E[D] \times \dfrac{1}{2}$, la dernière égalité venant la formule d'antirépartition (qu'on peut refaire à la main bien sûr).
Et donc finalement $\displaystyle \mathbb E[Y] = \dfrac{7}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{4}$.
On écrit $X = \sum_{k=1}^{X} 1 = \sum_{k \ge 1} 1_{X \ge k}$.
On passe à l'espérance, et il vient par linéarité : $E[X] = \sum_{k\ge 1} E[1_{X \ge k}] = \sum_{k\ge 1} P(X\ge k)$.
On pose $Y$ la variable aléatoire qui correspond au nombre de piles obtenus.
Son espérance se calcule par $E(Y)=\sum\limits_{y\in Y(\Omega)}yP(Y=y)$
On note $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre obtenu par le dé.
On a donc $Y(\Omega)={0,\ldots,X}$.
Calculons maintenant $P(Y=y)$ par la formule des proba totales $$\begin{align*}
P(Y=y)&=\sum\limits_{x\in X(\Omega)}P_{X=x}(Y=y).P(X=x) \\
P(Y=y)&=\sum\limits_{x\in X(\Omega)}P_{X=x}(Y=y).\frac{1}{6} \\
&=\frac{1}{6}\sum\limits_{x\in {1,\ldots,6}}C^y_x.\frac{1}{2^y}\frac{1}{2^{x-y}} \\
&=\frac{1}{6}\sum\limits_{x\in {1,\ldots,6}}C^y_x.\frac{1}{2^x}
\end{align*}
$$ Mais là je n'arrive pas à calculer cette somme.
Injecte cette dernière somme dans la somme définissant l'espérance et fait permuter les deux symboles sommes (interversion licite car sommes finies).
Tu verras apparaître des simplifications.
$(1+r)^y=...$ puis on dérive par rapport à $r$ et on choisit $r=1$ dans l’argument...