Variables aléatoires iid

Bruce
Bruce
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour tout le monde,
Soit $(X_n)_n$ une suite de variables iid.
Montrez que $E(X_i)=E(x_j)$ pour tout $i,j \in \mathbb N$.
Puisque les variables suivent la même loi, on a $P(X_i=x)=P(X_j=x)$ mais cela n'est vrai que si pour tout $i,j \in \mathbb N,\ X_i(\Omega)=X_j(\Omega)$. Cela est-il le cas ?
Je pense que oui car deux variables qui suivent la même loi signifie $P_{X_i}=P_{X_j}$ et par conséquent ils ont les mêmes ensembles de départ qui sont respectivement $X_i(\Omega)$ et $X_j(\Omega)$.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Tu as oublié l'hypothèse que ta loi est bien intégrable (tes variables ont bien une espérance).

    $X_i(\Omega)$ et $X_j(\Omega)$ sont effectivement égaux (presque sûrement en fait, si tu ne vois pas de quoi je parle oublie cette précision qui ne change rien en pratique), car elles ont même loi. Mais ce ne sont pas les ensembles de départ mais d'arrivée ceci dit.

    L'espérance ne dépend que de la loi, c'est pour ça que même loi implique même espérance (l'indépendance n'a aucun rapport). Pourquoi ? C'est le théorème de transfert qui le prouve. En effet, on a alors $\displaystyle \mathbb E[X] = \int_{\mathbb R} x d\mathbb P_X(x)$, donc ne dépend que de la loi $\mathbb P_X$.
  • Bruce
    Bruce
    et donc même variance, écart type etc...
  • Chalk
    Chalk
    Exact !
  • Bruce
    Bruce
    Désolé de révoquer le sujet, mais cela concerne aussi les fonctions génératrices et fonctions de répartitions ?
  • Chalk
    Chalk
    Révoquer ? Rouvrir plutôt ;-)

    Pour les fonctions de répartition ou génératrices c'est vraiment trivial au sens premier, puisque la définition même ne fait apparaître que la loi (contrairement à l'espérance où il faut passer par le théorème de transfert).

    Qu'est-ce qui t'a fait donc douter ?
  • Bruce
    Bruce
    Oui, je voulais dire "re-évoquer" mais je suis pas sûr que ce verbe existe :-(
    Ce qui me turlupine c'est que je n'ai pas eu vraiment besoin du théorème de transfert pour démontrer qu'ils ont la même espérance.
    $E(X_i)=\sum\limits_{x\in X_i(\Omega)}xP(X_i=x)$
    comme vous m'avez confirmé que $X_i(\Omega)=X_j(\Omega)$ alors,
    $E(X_i)=\sum\limits_{x\in X_j(\Omega)}xP(X_i=x)$
    La définition de deux variables qui suivent la même loi est $P(X_i=x)=P(X_j=x)$ pour tout $x$. Conclusion.
    $E(X_i)=\sum\limits_{x\in X_j(\Omega)}xP(X_j=x)=E(X_j).$
    $E(X_i)=E(X_j).$
  • Chalk
    Chalk
    Ta démonstration est juste. C'est juste que tu te places pas au même niveau. Quand on fait des probas dans le bon cadre, on ne part pas de cette définition de l'espérance. Toi tu as directement écrit la définition de l'espérance (d'une variable discrète) dans l'espace d'état (l'espace d'arrivée), c'est ce que permet de faire le théorème de transfert quand on part de la définition "officielle" de l'espérance.

    En fait, je pense que tu te places dans un niveau max L2, donc il faut adapter mes réponses.

    Révoquer est un verbe qui a une toute autre signification.
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