Convergence monotone

Je vais peut-être dire des bêtises mais je partirais de la façon suivante:
la suite est croissante en dehors d'un ensemble de mesure nulle pour $\mu$, donc il existe $A \in \mathcal{A}$ tel que $\mu(A) = 0$ et $(f_n)_n$ est croissante sur $A^c$. Le terme de droite peut alors facilement s'obtenir, en écrivant $f_n = f_n \mathbf{1}_A + f_n \mathbf{1}_A^c$ pour $f_n$, et en remarquant que l'intégrale du premier des deux termes est toujours nulle (à $n$ fixé et donc à la limite).
Pour le membre de gauche, je résonnerai de la même façon en utilisant le fait que la limite de la somme est la somme des limites, puis que l'intégrale est linéaire. J'obtiens donc
$$ \int_A \lim \limits_n f_n d\mu + \int_{A^c} \lim \limits_n f_n d\mu $$
C'est sur le deuxième terme de cette équation que les choses ne sont pas très claires... Bon et en fait à ce stade je pense qu'on s'en sort par Fatou (qui ne demande que la positivité): on a
$$ \int_{\Omega} \lim \limits_n f_n d\mu \leq \lim \limits_n \int_{\Omega} f_n d\mu = \lim \limits_n \int_A f_n d\mu$$
où la dernière inégalité vient de mon premier point, et d'autre part par convergence monotone sur les restrictions des fonctions à $A$, on a
$$\int_A \lim \limits_n f_n d\mu = \lim \limits_n \int_A f_n d\mu$$
En combinant donc Fatou et ma décomposition de mon terme de droite dans l'égalité de la convergence monotone me donne donc
$$ \int_{A^c} \lim \limits_n f_n d\mu \leq 0$$
mais la suite $(f_n)_n$ est positive, et donc forcément sa limite est une fonction positive et cette intégrale est nulle.
J'ai peut-être omis quelques points techniques, par exemple que toutes les limites utilisées existent, et je suis pas sûr à 100%, mais généralement le moyen le plus direct pour obtenir une propriété presque partout est d'introduire directement l'ensemble de mesure nulle sur laquelle la propriété désirée n'est pas satisfaite.