Indépendance des v.a.

Salut, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît, pour résoudre cet exercice.

On considère un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$

1) Soit $(X_n)_{n}$ une suite indépendante de v.a.r. et de même loi. On suppose qu'il existe une suite $(x_n)_n$ de réels tels que : $$
\mathbb{P}\bigg(\limsup_n\Big|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{X_k}-x_n\Big| \bigg)>0
$$ a) Prouver qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}_+$ tel que $\limsup_n\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{X_k}-x_n\right|=\alpha ,\ \ p.s$

b) Soit $(Y_n)_n$ une copie indépendante de $(X_n)_n$ et $V_n=X_n-Y_n.$ Prouver que :
i) $\limsup_n\left| \frac{1}{n}V_n\right|<+\infty, \ presque \ sûrement$
ii) il existe $\beta \in \mathbb{R}_+$ tel que $\limsup_n\left| \frac{1}{n}V_n\right|=\beta, \ p.s$
iii) $\sum_n{\mathbb{P}(\left|V_n \right|>n(1+\beta))}<+\infty \ et \ \mathbb{E}(\left|V_1 \right|) <+\infty$

c) Soit $(H_n)_n$ une suite indépendante de v.a.r et de même loi avec $\mathbb{E}(\left|H_1 \right|) =+\infty.$
Prouver que, pour toute suite $(x_n)_n$ de réels, $\limsup_n\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{H_k}-x_n\right| =+\infty, \ \ p.s.$

Pouvez-vous me donner des indications pour ces questions, svp.
Merci d'avance.