Heuristique

Bernard100 · April 2018

Bonjour à tous

Je voudrais savoir si possible qu'est-ce que concrètement un raisonnement heuristique ?

Est-ce par exemple étendre un resultat sur des processus discrets à des processus continus de façon analogue ?
Ou utiliser quelque chose qui n'a pas de sens pour obtenir un resultat ?

gerard0 · April 2018

Bonjour.

Une heuristique est une façon de trouver. En maths, trouver un résultat est bien, mais si on n'est pas capable de le prouver, c'est généralement sans intérêt (*).
"Est-ce par exemple étendre un résultat sur des processus discrets à des processus continus de façon analogue ?" Si on se contente d'une analogie, c'est heuristique. Manque le traitement mathématique.

"Heuristique" a comme racine grecque "eurêka".

Cordialement.

(*) J'exclus les grandes conjectures, dont la résistance à la contre-preuve et le lien avec d'autres questions fait l'intérêt.

marsup · April 2018

Je crois que tu devrais faire attention, gerard0, à ne pas présenter tes opinions polémiques pour des jugements universels.

Évidemment que les raisonnements heuristiques sont très précieux, même si on ne parvient pas dans le court terme à les formaliser.

Ne perdons pas l'heuristique de vue, et peut-être que plus loin sur le chemin, nous y verrons l'opportunité d'un éclaircissement plus élevé.

Par exemple, j'explique la chose suivante à mes élèves :

exemple a écrit:

Je lance un dé cubique, et je considère comme un succès l'obtention d'un 6.

À chaque épreuve, j'ai une chance sur 6 d'avoir un succès.

Quand je répète l'épreuve, il me faut donc en moyenne 6 lancers pour obtenir un succès.

Justement, l'espérance de la loi géométrique $G(p)$ est $\frac{1}{p}$ !

Ce que je fais, c'est donc de planter un germe de théorème d'arrêt, qui est bien sûr inaccessible formellement à ce stade, mais qui fournit néanmoins un éclairage intuitif pertinent !

th d'arrêt a écrit:

Si $X_n$ est le nombre de succès, on a $E[X_n] = np$.

Pour $T$ le temps d'arrêt "premier succès", on a donc : $1 = E[1] = E[X_T] = E[T] \cdot p$.

gerard0 · April 2018

J'attirais simplement l'attention sur le fait qu'un raisonnement heuristique n'est pas une preuve mathématique.

Je ne comprends pas pourquoi tu parles de "tes opinions polémiques", je ne suis en guerre contre personne. Ne te mets pas en guerre contre moi.

Ton exemple n'est d'ailleurs pas un raisonnement heuristique si tu veux " planter un germe de théorème d'arrêt". Même si, à certains niveau, dire "À chaque épreuve, j'ai une chance sur 6 d'avoir un succès." est un raisonnement heuristique, qui pourra permettre de mettre en place une formalisation mathématique.

Les géomètres connaissent bien les raisonnements heuristiques, dont un exemple très fréquent est "regarder la figure". La figure ne prouve rien (*), mais elle donne l'idée des étapes du raisonnement.

Cordialement.

(*) même dans les preuves sans paroles, où le raisonnement se fait dans la tête du lecteur.

marsup · April 2018

Je ne cherche pas la bagarre, désolé si je donne cette impression. :-)
(Les trop longues engueulades par clavier, ce n'est pas mon truc.)

Tu dis que les heuristiques sans démonstration n'ont guère d'intérêt, en dehors des grandes conjectures.

Je ne suis pas d'accord avec ça, et je pense que sur ce coup, la charge de la preuve devrait te revenir pour cet énoncé fort, et pas à tes contradicteurs.

gerard0 · April 2018

Oui,

en l'écrivant je pensais moi-même que ma phrase est un peu forte, mais je ne savais pas le dire autrement. le cœur des mathématiques est essentiellement des structures avec les démonstrations afférentes. J'ai peut être trop insisté sur le fait que l'heuristique est une partie préalable du travail mathématique, mais ne suffit pas.
Cependant, quand j'enseignais, j'essayais toujours de faire comprendre comment on peut trouver.

Cordialement.

NB : j'espère que notre discussion servira la compréhension de Bernard100.

Bernard100 · April 2018

Merci infiniment @gerard0 et @marsup.

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