Théorème de transfert loi à densité
Bonsoir,
Je lis une démonstration sur le théorème de transfert pour les mesures à densité et voici ce que je n'arrive pas à comprendre, voici les hypothèses : $X$ variable aléatoire de loi $P_X$ qui admet une densité $f$ par rapport à une mesure $m$, $g$ une fonction mesurable.
L'auteur du livre dit que : D'après le théorème de transfert (ça c'est bon je connais), on a
\begin{equation}
\int_{\Omega} | g(X(\omega)) | dP = \int_{\mathbb{R}} |g(x)| dP_X (x) = \int_{\mathbb{R}} |g(x)| f(x) dm(x)
\end{equation}
Je vois bien que la première égalité vient du théorème du transfert, mais il n 'y aucun commentaire concernant la seconde, je ne comprends pas d'où cela vient et j'ai pourtant lu les chapitres précédents du livre... Merci d'avance
Je lis une démonstration sur le théorème de transfert pour les mesures à densité et voici ce que je n'arrive pas à comprendre, voici les hypothèses : $X$ variable aléatoire de loi $P_X$ qui admet une densité $f$ par rapport à une mesure $m$, $g$ une fonction mesurable.
L'auteur du livre dit que : D'après le théorème de transfert (ça c'est bon je connais), on a
\begin{equation}
\int_{\Omega} | g(X(\omega)) | dP = \int_{\mathbb{R}} |g(x)| dP_X (x) = \int_{\mathbb{R}} |g(x)| f(x) dm(x)
\end{equation}
Je vois bien que la première égalité vient du théorème du transfert, mais il n 'y aucun commentaire concernant la seconde, je ne comprends pas d'où cela vient et j'ai pourtant lu les chapitres précédents du livre... Merci d'avance
Réponses
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N'aurait-on pas, dans ton bouquin, par définition, que $X$ admet $f$ pour densité par rapport à la mesure $\mu$, si : $dP_X(x) = f(x) d\mu_x$ ?
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Bonjour.
C'est la définition de $P_X$ admet une densité $f$ par rapport à une mesure $m$.
Cordialement.
[Édit : Ah ! un temps de retard] -
Pour moi $P_X$ admet $f$ pour densité par rapport à la mesure $m$ si :
\begin{equation}
P_X(A) = \int_{A} f dm
\end{equation}
$A$ inclus dans $\mathbb{R}$ -
Ah bah oui, mais ce n'est pas très satisfaisant comme définition.
Tu dis que si $\phi$ est une fonction indicatrice ($\phi=1_A$ dans ton exemple),
on a : $E[\phi(X)] = \int \phi \cdot f \cdot d\mu$.
La même chose doit encore être vraie pour une classe beaucoup plus généreuse de fonctions $\phi$.
Après, dire ça, peut être pris comme définition du fait que $f$ est densité de $X$, si la forme linéaire $\phi \mapsto E[\phi(X)]$ est représentable par une fonction $f$, comme $\langle \phi,f\rangle_\mu = \int\phi \cdot f \cdot d\mu$.
(et c'est assez pratique, comme façon de dire les choses !) -
Le problème c'est que le résultat que tu me donnes est exactement ce que l'auteur de mon livre veut démontrer, donc ce n'est pas la justification que je recherche, mais merci quand même, une autre idée ?
-
Bon. Dans ce cas, la réponse t'a déjà été fournie. Regarde plus haut dans le livre, il doit être écrit quelque part que $dP_X(x) = f(x) d\mu(x)$ si $X$ a $f$ pour densité. (:P)
-
Non ça n'est pas écrit et d'ailleurs, en toute rigueur ça ne veut rien dire, $dP_X$ n'est pas une fonction de $x$ c'est juste une notation pour indiquer par rapport à quelle mesure et variable on intègre. Même remarque pour $d\mu(x)$. Donc il doit y avoir autre chose.
-
Là on joue aux devinettes, et tu retires progressivement le sol sous nos pieds.
Il y a des notations qui ne sont pas introduites dans ton bouquin ?!
De deux choses l'une (je penche plutôt pour la première)
1. le bouquin est sérieux, et dans ce cas, il faut le lire sérieusement,
2. le bouquin est fantaisiste, et il ne faut pas perdre trop de temps avec. -
Le livre introduit la notion de mesure à densité que j'ai donnée ci-dessus
Les notations sont introduites, simplement je dis que quand tu écris $dP_X (x) = f(x) d\mu(x)$ ça n'est pas rigoureux, c'est plus un moyen mémo technique pour se souvenir du résultat que je cherche justement à démontrer, sinon qu'est-ce que $d\mu$ lorsque $\mu$ est une mesure ? Je ne crois pas que ça ait sa place dans une démonstration ou définition
Edit : Je suis un gros naze ça fait l'objet d'un Théorème dans mon livre, l'auteur n'a juste pas cité son théorème :
On suppose que $\nu$ admet $f$ pour densité par rapport à $\mu$. Alors pour toute fonction mesurable
\begin{equation}
\int |g| d\nu = \int |g| f d\mu
\end{equation}
Vraiment désolé, bonne soirée -
Bah oui, voilà... (y a-t-il vraiment besoin de valeurs absolues ?)
Je te ferai remarquer que gerard0 et moi ne faisions que recopier ce que tu avais écrit toi-même, quand nous disions $dP_X(x) = f(x) d\mu(x)$. -
Si les quantités avec la valeur absolue converge alors on peut écrire la même chose sans les valeurs absolues.
Je n'ai pas écrit ça, j'ai écrit $\int |g| dP_X = \int |g| f dm$ -
On part de la définition avec les indicatrices et on étend ça aux fonctions mesurables positives par limite de fonctions étagées, puis aux fonctions de signe quelconque.
C'est très classique en théorie de la mesure. On définit le truc avec les hypothèses minimales et on étend à toutes les fonctions. -
Il y a tout de même un peu de travail (très classique) à faire pour démontrer le résultat désiré en partant de la définition (très classique) utilisée dans le livre d'anthomedal. Comme soulignée par anthomedal, la notation $dP_X(x)=f(x)d\mu(x)$ n'est certainement pas un argument pour démontrer le résultat ! Ce n'est, comme il le dit, qu'une notation pour désigner la mesure admettant $f$ pour densité respectivement à la mesure $\mu$.
Du coup je ne comprends pas l'attitude de gerard0 et de marsup, d'autant plus qu'anthomedal a été parfaitement clair dans la formulation de sa question, dans la formulation de sa définition, dans ses objections etc. Que s'est-il passé ici :-) ? Est-ce que gerard0 et marsup voient autre chose qu'une notation dans la notation $dP_X(x)=f(x)d\mu(x)$ ? Y voient-ils quelque chose comme le nom du théorème dont avait besoin anthomedal ? Mais dans ce cas répondre par « c'est un théorème » à la question « comment démontre-t-on ce théorème » est tout de même curieux non :-) ? Bref, je m'interroge et cherche la source de l'incompréhension. -
C'est pas souvent, mais pour une fois je suis d'accord que, selon moi, gerard0 et marsup ont répondu à côté, la question de départ étant parfaitement claire.
Et quand marsup dit que la définition donnée sur les indicatrices n'est pas satisfaisante, je la trouve au contraire beaucoup plus satisfaisante puisque les hypothèses sont minimales. D'ailleurs c'est la définition que je lis sur la page wiki consacrée à Radon-Nikodym.
Je suis allé vite sur ma démonstration parce que c'est vraiment classique, mais je peux détailler sur demande. -
Pour Ponctuel et Skyffer3,
je remarque que c'est facile, une fois qu'on a tous les éléments sur ce que pouvait connaître Anthomédal de dire que ma réponse est à côté de la plaque. Et inutile de me reprocher ce que je n'ai pas écrit : relisez ma réponse.
D'ailleurs, finalement, Anthomedal a confirmé ce que je disais. Pourquoi me reprocher quoi que ce soit ?
Vous n'êtes vraiment pas sympas !
NB : En général, quand une égalité n'est pas justifiée, c'est qu'elle est une application immédiate d'une propriété vue auparavent, ou supposée connue depuis longtemps. -
Bah désolé, mais ta première réponse c'est de dire que c'est la définition, or c'est faux (en tout cas aucun de mes bouquins ni wiki ne part de la définition à toutes les fonctions, mais part des indicatrices).
Pour le reste, il n'y a rien de méchant ou de pas sympa. Ça m'arrive plein de fois de répondre à côté. Et en plus j'ai précisé que c'était un avis personnel, on a le droit de ne pas être d'accord ;-) -
Ah c'est bien, on refait le match. :-(
J'ai dit que la définition n'était pas satisfaisante. Bah si, toutes les définitions sont satisfaisantes, dans la mesure où elles sont équivalentes. Cela dit, est-ce très idiomatique en probas, et utile ?
Il va de soi qu'une mesure est toujours définie par son expression sur les mesurables. Après, est-ce qu'il n'y a pas quelque intérêt à y penser comme une forme linéaire sur les fonctions ?
Je ne suis pas certain de là où vous voulez en venir. Vous me reprochez de ne pas être rigoureux ? Est-ce qu'être rigoureux signifie "voir et dire les choses exactement comme dans votre manuel favori" ?
Finalement, en l'espèce, il s'est avéré que plus haut dans le bouquin d'Anthomedal, il était écrit :
$\int g d\nu = \int gf d\mu$ pour tout $g$, ce que gerard0 et moi avons dit sous la forme : $dP = f d\mu$, avec $dP=d\nu$.
(et Anthomedal dit lui-même qu'il avait perdu de vue ce résultat, et reconnaît son erreur...)
Si vous ne voyez pas le rapport, ponctuel et skyffer3, il me semble clair que c'est soit par fétichisme de la rigueur, à mon avis largement incomprise, soit par bonne vieille mauvaise foi. -
Pour ma part, c'est la définition que j'ai apprise de la notion de densité. Et justement, il s'agit d'une preuve du théorème de transfert pour les mesures à densité. Donc de l'application de deux propriétés supposées connues, l'une que Anthomedal a reconnue, l'autre qui était déjà dans son cours, mais qu'il n'a pas reconnue, qui est soit la définition, soit une propriété liée à la définition des densités. Il ne s'agissait aucunement de définir la notion de mesure à densité.
Donc vous me faites un faux procès, et tu continues ... -
Heu ... Marsup,
je n'ai jamais dit que $dP = f d\mu$, c'est ponctuel qui me le fait dire. mais je suis d'accord avec toi que rejeter cette explication est de la rigueur inutile quand on est dans le contexte "mesures à densité".
Bon, je laisse tomber le débat, j'ai dit ce que j'avais à dire.
Cordialement. -
Ah ok désolé gerard0, pour la mauvaise citation.
J'essayais de faire la synthèse de plusieurs messages sans vouloir y passer 5 heures. -
En fait, on aurait peut être pu écrire "En utilisant successivement le théorème de transfert et le théorème d'intégration par rapport à une mesure à densité" plutôt que "D'après le théorème de transfert ".
J'en prends note.
Ceci dit, je rejoins skyffer3, les questions posées par anthometal montrent qu'il comprend parfaitement ce qu'il est en train de lire; ce qui est très bien. -
Je n'ai pas compris ce que je viens de me prendre dans la gueule ...
J'ai essayé de répondre à une question qui me paraissait claire et qui selon moi et les sources (et selon la source de l'auteur manifestement) que j'ai n'est pas la définition elle-même, mais visiblement ça a déplu. Je m'en remettrai ;-) -
Merci pour ces réponses condescendantes...
Je reprends le fil et constate que je n'aurais pas dû inclure gerard0 dans ma remarque.
1) anthomedal demande d'où vient une égalité entre deux intégrales.
2) gerard0 et marsup répondent que c'est vrai par définition de « mesure à densité ». C'est certainement vrai pour la définition qu'ils utilisent.
3) Très intelligemment, anthomedal donne la définition de « mesure à densité » dont il dispose. À partir de là il est clair qu'il y a quelque chose à démontrer. Or « $dP_X(x)=f(x)\mu(dx)$ » n'est certainement pas une preuve ! Ce n'est qu'une notation ! Ou éventuellement une manière d'évoquer le théorème dont anthomedal a besoin, ce qu'il fait à nouveau très intelligemment remarquer. Je ne comprends toujours pas ce que gerard0 et marsup ne comprennent pas... J'aimerais bien le savoir ! S'ils pouvaient éclairer un imbécile de mon acabit, qui ne sait pas ce qu'est la rigueur, j'en serais ravis... Au plaisir de vous lire... Mais relisez le fil avant !
Mais si j'ai écris mon premier message, c'est surtout pour soutenir anthomedal dont la démarche m'a paru très saine. -
Je ne suis revenu sur le sujet que parce que j'étais mis en cause. Sinon, Anthomedal ayant dit que sa définition de "à densité" est autre, je n'avais plus rien à dire. Désolé de ne pas connaître le bouquin qu'il étudie, mais il n'a même pas cité son nom.
Je n'ai pas d'autre récrimination que de ne pas être accusé de ce que je n'ai pas fait. -
Se plaindre d'être méprisé.
Pourtant, dire qu'on ne voit même pas ce que les autres ne comprennent pas...
Il y a plusieurs manières de définir "avoir une densité".
L'une juste avec l'écriture $P(X\in A) = \int_A f$.
L'autre avec, pour toute $g$ fonction raisonnable (disons bornée) : $E[g(X)] = \int gf$.
La deuxième est clairement au moins aussi forte que la première.
Par un argument de linéarité de l'espérance-densité des indicatrices, la première implique la deuxième.
À ce stade, nous avons donc deux définitions équivalentes.
Il est, à mon sens, légitime de répondre : "si ce n'est pas argumenté précisément à ce stade de la démonstration que tu es en train de lire, alors, il faut regarder plus haut dans le bouquin ; cette chose doit y être justifiée."
Après avoir insisté que ce n'était pas le cas, et que je n'y comprenais rien (car confondant astuce mnémotechnique et idées mathématiques "sérieuses"), Anthomedal va regarder plus haut dans son livre, et, Ô miracle ! trouve en effet cette formule, avec un $\nu$ à la place de $P_X$.
Je réponds juste : "voilà, on est d'accord, et, contrairement à tes reproches, c'est ce que je disais !"
Ponctuel, le lendemain, revient à la charge, et a l'air de nous expliquer que c'est n'importe quoi, et que dans une intégrale, le $d\mu$ ne signifie absolument rien : "ce n'est qu'une notation".
Mais enfin, il pose une question qui n'est pas juste une boule puante : "est-ce que [je vois] autre chose qu'une notation dans cette formule $d \nu = f d \mu$ ?"
La réponse est évidemment "oui", mais quelle étrange manière, en trollant de la sorte, de me faire dire cela !
Quel intérêt de me pourrir ainsi une bonne partie de mon samedi après-midi ? :-S -
Il y a plusieurs manières de définir "avoir une densité".
L'une juste avec l'écriture $P(X\in A) = \int_A f$.
L'autre avec, pour toute $g$ fonction raisonnable (disons bornée) : $E[g(X)] = \int gf$.
La deuxième présentation que tu évoques est effectivement utilisée pour les variables aléatoires, dans les cours où on ne parle pas de mesure -- c'est le cas par exemple de certains cours de deuxième année de Licence de mathématiques.
Mais quand on parle, non pas de densité de variable aléatoire, mais de densité d'une mesure par rapport à une autre, je ne crois pas avoir jamais rencontré de cours où on définirait la mesure à densité par la forme linéaire associée.
Peut-être qu'un grand fan des mesures de Radon pourrait faire ça, mais je ne l'ai jamais rencontré. -
L'auteur demande comment montrer (dans son contexte)
$$
\int_\R |g(x)| P_X(dx) = \int_\R |g(x)| f(x)dm(x).
$$
Tu lui réponds que c'est vrai car $P_X(dx)=f(x)dm(x)$. Que peut-il comprendre !? Et que veux-tu dire par là ? Si tu veux dire par là qu'on a l'égalité d'intégrales ci-dessus, tu comprends bien que cela ne sert à rien pour l'auteur qui veut précisément savoir d'où ça sort !
Je pense qu'en relisant le fil calmement et en te mettant à la place de l'auteur tu comprendrais son problème. -
Peu importe le choix (pédagogique) de quelle formulation sera la définition, et laquelle sera la caractérisation (CNS), non ?
Vous êtes sérieux, là ?! c'est pour ça que vous me tannez depuis ce midi ?!
Parce que je ne fais pas la différence entre caractérisation et définition ?
C'est typiquement le genre de sophisme que je rejetais dans les critiques de "manque de rigueur" : si deux types ont leurs définition et caractérisation interverties, lequel ne "manque pas de rigueur" ?
À vous lire, c'est celui qui a le même bouquin que vous ! Pas très Charlie... -
Ponctuel, tu commences à me fatiguer...
Dans le bouquin en question, il était effectivement (d'après Andro!) écrit plus haut :
si $\nu$ est à densité $f$ par rapport à $\mu$, alors pour toute $g$, on a : $\int g d\nu = \int gf d\mu$ !
Ma réponse initiale était : "regarde plus haut, c'est que $dP = f d\mu$."
Tu es sûr sûr sûr de ne pas voir le rapport ? Pourquoi persister ? -
marsup a écrit:Peu importe le choix (pédagogique) de quelle formulation sera la définition, et laquelle sera la caractérisation (CNS), non ?
Oui.marsup a écrit:Vous êtes sérieux, là ?! c'est pour ça que vous me tannez depuis ce midi ?! Parce que je ne fais pas la différence entre caractérisation et définition ?
Non.marsup a écrit:C'est typiquement le genre de sophisme que je rejetais dans les critiques de "manque de rigueur" : si deux types ont leurs définition et caractérisation interverties, lequel ne "manque pas de rigueur" ?
???marsup a écrit:À vous lire, c'est celui qui a le même bouquin que vous ! Pas très Charlie...
Non. -
marsup a écrit:Dans le bouquin en question, il était effectivement (d'après Andro!) écrit plus haut :
si $\nu$ est à densité $f$ par rapport à $\mu$, alors pour toute $g$, on a : $\int f d\nu=\int ff d\mu$ !
Ma réponse initiale était : "regarde plus haut, c'est que $dP=fd\mu$"
Mais tout le problème est que l'auteur n'a pas compris cette réponse... Il n'a pas compris TA NOTATION. Tout le monde n'a pas les mêmes notations, les mêmes définitions... Je ne conteste rien de mathématique. Je parlais juste d'un problème de communication, d'échange, de compréhension... Tout marche mieux quand on ne prend pas son interlocuteur pour un imbécile dès qu'on ne comprend pas sa réaction.marsup a écrit:Tu es sûr sûr sûr de ne pas voir le rapport ? Pourquoi persister ?
Pourquoi persister en effet. Bonne nuit.
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