Formulaire $\limsup \liminf$

Salut,

J'essaie de constituer un petit formulaire car je remarque que ces petits calculs me bloquent souvent dans mon cours d'intégration et probabilités. Or, je n'ai pas trouvé de référence sur le sujet.

Voilà ce que j'ai pour l'instant, pouvez-vous m'en donner d'autres qui peuvent être parfois utiles ? En particulier, les formules impliquant $\liminf (a_n b_n)$ avec les hypothèses qui vont bien, je ne les vois nulle part mais je ne sais pas quelle hypothèses rajouter.

Dans tout ce qui suit, $(a_n)$ et $(b_n)$ sont des suites à valeurs dans $[-\infty,+\infty]$, il faut donc rajouter les hypothèses nécessaires pour ne pas écrire de bêtises.

Ce qui est ici pris pour acquis : $\liminf a_n$ et $\limsup a_n$ existent toujours (ce sont des éléments de $[-\infty,+\infty]$ et désignent respectivement $\sup_{n}\inf_{k\geq n}a_k$ et $\inf_{n}\sup_{k\geq n}a_k$). Ce sont aussi respectivement la plus petite et la plus grande valeurs d'adhérence de $(a_n)$. Enfin, $(a_n)$ converge dans $[-\infty,+\infty]$ ssi $\liminf a_n=\limsup a_n$ (et en cas de convergence, $\liminf a_n=\limsup a_n=\lim a_n$).

Voilà le formulaire que j'ai pour l'instant.

1) $\liminf a_n\leq\limsup a_n$

2) $\limsup (a_n)=-\liminf (-a_n)$

3) Si pour tout $n, a_n\leq b_n$
Alors $\liminf a_n\leq\liminf a_n$ et $\limsup a_n\leq\limsup b_n$

4) $\liminf a_n+\liminf b_n\leq\liminf (a_n+b_n)$
$\limsup (a_n+b_n)\leq\limsup a_n+\limsup b_n$

5) On suppose que $(a_n)$ converge vers $a\in\mathbb R$. Alors :
$\liminf (a_n+b_n)=a+\liminf b_n$
$\limsup (a_n+b_n)=a+\limsup b_n$

6) On suppose que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont positives. Alors :
$\liminf (a_n b_n)=(\liminf a_n)(\liminf b_n)$
$\limsup (a_n b_n)=(\limsup a_n)(\limsup b_n)$

7) Ces trois assertions sont équivalentes :
$\lim a_n=a$
$\limsup |a_n-a|=0$
$\forall\epsilon >0, \limsup |a_n-a|\leq\epsilon$

En particulier, est-ce qu'il y a une propriété, un peu comme le 5, mais avec le produit ?

Merci !