Limite en probabilité d'une VA

Ton idée est intéressante, mais comme justement l'espérance n'est pas 1 il faut a priori travailler plus pour que ça marche.

Heureusement il y a beaucoup plus simple : https://math.stackexchange.com/questions/313390/probability-density-of-the-maximum-of-samples-from-a-uniform-distribution

Edit : grillé par BobbyJoe, mais c'est très bizarre une fois que t'as la fonction de répartition de la redériver pour l'intéger ligne d'après 8-)

Je suis d'accord... Mais c'est juste pour faire écho au message du monsieur qui voulait à tout prix calculer la densité de $S_{n}$.
La preuve la plus élégante est de prouver la CV en loi vers une constante... C'est quand même plus efficace ^^

La fonction de répartition converge en tout point de continuité de la fonction de répartition de la Va limite.... Attention!
Cela provient de la définition de la CV en loi et d'argument de troncature (car l'ensemble exceptionnel où la fonction de répartition est discontinue est au plus dénombrable et la sigma algèbre engendrée par les intervalles semi-ouverts à bord qui évitent cet ensemble est l'ensemble des boréliens).
Le sens plus facile est CV en loi implique Cv des fonctions de répartition... Il suffit de prendre des fonctions affines par morceaux fortement localisées autour d'un point de continuité (bump function).

Pour la convergence en proba la définition demande une convergence pour tout $\epsilon >0$ mais c'est équivalent à pour tout $0<\epsilon <a$ où $a$ est une constante strictement positive arbitraire. C'est très simple à prouver, je te laisse chercher et revenir vers nous si tu trouves pas pourquoi (une simple majoration suffit).

Pour ta deuxième question, non la limite d'une suite convergente de fonctions de répartition n'en est pas forcément une. En revanche, on sait caractériser les fonctions de répartition : une fonction est une fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle ssi elle est croissante, continue à droite, tend vers 0 en moins l'infini et vers 1 en plus l'infini.

Très bien.

A présent, petite récapitulation.

Première méthode, on démontre grâce à la suite des fonctions de répartition de $S_n$ qu'on connaît (donnée par BobbyJoe : $F_{S_n}(t) = 1_{[0,1]}(t).t^n + 1_{]1,+\infty]}(t)$) que $S_n$ converge en probabilité vers $1$. Il suffit comme tu l'as vu d'utiliser la définition de la convergence en probabilité, avec tout $\epsilon >0$ et $<1$ par exemple, puisque ça suffit et que ça simplifie légèrement (pas besoin de disjonction des cas). Enfin, la convergence en probabilité implique celle en loi.

Deuxième méthode. Soit $F_X$ la fonction de répartition de la variable $X=1$. Alors $F_X(t) = 1_{[1,+\infty[}(t)$. Il n'est pas compliqué de voir que $F_{S_n}(t) \to F_X(t)$ pour tout $t$ lorsque $n\to +\infty$. En particulier, $F_{S_n}(t) \to F_X(t)$ pour tout $t\in\mathbb R\setminus \{1\}$, qui sont les points de continuité de $F_X$. On sait alors que $S_n$ converge vers $X$ en loi. Comme $X$ est constante presque-sûrement, une propriété classique nous dit que la convergence se fait aussi en probabilité.

Troisième méthode si on ne sait rien sur la variable limite. Alors on voit quand même que $F_{S_n}(t) \to 1_{[1,+\infty[}(t)$, et la fonction $t \mapsto 1_{[1,+\infty[}(t)$ a bien les caractéristiques d'une fonction de répartition. Donc il existe une variable $X$ de fonction de répartition $t \mapsto 1_{[1,+\infty[}(t)$, et la convergence simple des fonctions de répartition nous donne que $S_n$ converge vers $X$ en loi. Il ne reste plus qu'à voir que $X=1$ presque sûrement, ce qui doit sauter aux yeux en regardant la fonction de répartition. On peut montrer de manière directe (et légèrement laborieuse) qu'une variable $X$ de fonction de répartition $1_{[a,+\infty[}(t)$ est égale à $a$ presque sûrement. Ou alors on peut dire simplement que la variable constante $1$ a la même fonction de répartition que $X$, et que deux variables qui ont même fonction de répartition ont même loi, et comme la convergence en loi ne dépend que des lois, on a $S_n$ converge aussi en loi vers $1$ puisque c'est la même loi que $X$. On retombe en fait sur la deuxième méthode.