Algorithme d'Euclide sur un corps fini

Bonjour,
Je propose çà:
Notons $R_n$ le reste de la division euclidienne de $P_n$ par $Q_n$
1) On prouve d' abord que: $\forall k \in \{0;1;...n-1\}$, la variable aléatoire (conditionnelle) $[R_n\mid \text{deg}Q_n = k]$ est uniformément distribuée dans $K_{<k}[X]$, c'est à dire: $\forall R \in K_{<k}[X],\:\:\Pr[R_n=R/ \text{deg}Q_n = k]=\dfrac1{p^k}$.
En effet, $\:\:\Pr[R_n =R/\text{deg} Q_n = k] =\dfrac{\text{Card}\{ P \in K_n[X] \mid P \equiv R \mod Q_n\}}{\text{Card}\: K_n[X]}=\dfrac {(p-1)p^{n-k}}{ (p-1)p^n} = \dfrac 1 {p^k}$
2) Cette remarque permet alors de démontrer par récurrence que , $X_n$ étant la variable aléatoire dont l'énoncé demande de calculer l'espérance, $$\:\:\boxed{ \text E[X_n]= n(1- \dfrac 1p)}$$.
En effet, on a: $\text E [X_1] =1-\dfrac 1p\:\:$ (si $Q_1 =0$ alors $X_1 =0\:$) et $\:\forall n>1\:$, avec la convention $\text E[X_0]=0$,
$\text E[X_n] = \displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} \Pr [\text{deg}Q_n = k] \left(1+\text E[X_k]\right) \underset{(\text{Hyp.Rec.})}{=}\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(p-1)p^k}{p^n}\left(1+k(1-\dfrac 1p)\right) = \dots = n(1-\dfrac 1p)}$.