Arbre de Stern-Brocot

Bonjour,
$\bullet $ A toute suite $(M_1,M_2...M_p)$ d'éléments de $\{G;D\}$, l'arbre de Stern-Bocrot associe la matrice $A=M_1M_{2}...M_p$
et la fraction irréductible $\dfrac xy\:\: (x,y\in \N^*)$ où $\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} $.
On montre en outre (je ne détaille pas ce point pour l'instant) que toute fraction irréductible apparait au plus une fois dans l'arbre.
$\bullet$ D'autre part, l'algorithme proposé remplace à chaque étape $\begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix}$ par $G^{-1}\begin{pmatrix} m\\ n\end{pmatrix}$ ou $D^{-1} \begin{pmatrix}m \\n \end{pmatrix}$ (selon que $m<n$ ou $m>n$) jusqu'à obtenir $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} = L_k^{-1} ...L_2 ^{-1}L_1^{-1}\begin{pmatrix} m\\n \end{pmatrix}$ où les $L_i$ sont dans $\{G;D\},$ et l'algorithme affiche alors la suite de symboles: $L_1L_2...L_k$.
Ainsi $\begin{pmatrix}m \\ n \end{pmatrix} = L_1 L_{2}...L_k \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$ .
Ainsi, toute fraction irréductible $\dfrac mn$ ($m,n\in \N^*$) apparait une et une seule fois dans l'arbre de Stern-Bocrot et on a:
$$\text{Si}\: \dfrac mn \:\:\text {est associé à} \:\:(M_1,M_2,...M_p), \:\:\text{alors}\:\:p=k\:\:\: \text{et}\: \:\forall i \in \{1,2 ...p\},\: M_i = L_i.$$

P.S Je viens de me rendre compte que j'avais déjà croisé cet arbre (en ignorant qu' il avait un nom) en voulant démontrer l' intéressant résultat suivant:
Soit $F:\:\: \Q^+\longrightarrow\Q^+$ définie par: $F(x)= \dfrac1{2[x] +1 -x}$ où $[x]$ désigne la partie entière de $x$, et $F^{on}$ la composée $n-\text{ième}$ de $F$.
Alors $n\longmapsto F^{on} (0)$ réalise une bijection de $\N$ sur $\Q^{+}$.