Aire et probabilité
Bonjour,
Dans une activité on considère le carré de sommets de coordonnées (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) dans un repère orthonormé du plan. On considère le graphe d'une fonction f contenu dans ce carré. On tire au hasard un point du carré et on cherche la probabilité p que ce point soit dans le domaine D défini par l'axe des abscisses, le graphe de f et les droites d'équation x=0 et x=1.
Dans cette activité, il est écrit : "on admet que la probabilité p cherchée est égale à l'aire du domaine D".
Ma question : comment démontre-t-on cette propriété ? En fait il est "logique" que les "chances de tomber dans une zone donnée" soient égales au rapport de l'aire de cette zone sur l'aire totale (l'aire totale ici valant 1 puisque on a un carré de côté 1). Mais comment démontre-t-on rigoureusement cette propriété ?
Merci.
Dans une activité on considère le carré de sommets de coordonnées (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) dans un repère orthonormé du plan. On considère le graphe d'une fonction f contenu dans ce carré. On tire au hasard un point du carré et on cherche la probabilité p que ce point soit dans le domaine D défini par l'axe des abscisses, le graphe de f et les droites d'équation x=0 et x=1.
Dans cette activité, il est écrit : "on admet que la probabilité p cherchée est égale à l'aire du domaine D".
Ma question : comment démontre-t-on cette propriété ? En fait il est "logique" que les "chances de tomber dans une zone donnée" soient égales au rapport de l'aire de cette zone sur l'aire totale (l'aire totale ici valant 1 puisque on a un carré de côté 1). Mais comment démontre-t-on rigoureusement cette propriété ?
Merci.
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Réponses
Soit $U$ la variable uniforme du carré, avec $u$ sa densité. Alors $\displaystyle \mathbb P(U \in D) = \mathbb E(1_D(U)) = \int_D u(x,y) \ \mathrm dx\mathrm dy = \int_D 1 \ \mathrm dx\mathrm dy = \text{Aire} (D)$.
Peut-on dire que $U$ suit la loi uniforme sur le carré $[0,1]\times[0,1]$ ?
Comment est définie la densité de probabilité de $U$ ?
Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes alors $P(U\in[a,b]\times[c,d])=P(X\in[a,b])\times P(Y\in[c,d])$ ?
La loi uniforme continue sur un domaine $I$ mesurable d'aire (i.e. de mesure de Lebesgue) finie et strictement positive (que ce soit en dimension $d=1$ ou plus) est la loi de densité $1_I/k$, où $k=\int_{\mathbb R^d} 1_I = \text{Aire}(I) = \lambda(I)$ est le facteur de renormalisation.
Soit c'est une définition, soit c'est un théorème prouvé par Fubini en quelques lignes, soit c'est un théorème qui demande un peu de travail. Par exemple, à un moindre niveau (Intégrale de Riemann), en s'interdisant l'intégrale double, on peut approcher la fonction, disons continue, par des fonctions en escalier après avoir démontré que c'est vrai pour une fonction constante.
Evidemment, je ne retrouve pas ce fil... j'ai pu retrouver ce fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1392492,1392608
Edit : j'ai tenté une fois de proposer un exercice interdisant l'intégrale double mais en acceptant le résultat sur le produit de convolution (densité de la somme de deux v.a.ind. à densité) qui se démontre...par Fubini.
Comment montrer qu'alors...(X,Y) suit la loi uniforme sur le carré ?
Mais, pour moi une intégrale simple sur $\mathbb R^2$, c'est une intégrale double.
Non ?
Ou alors, je devrais plutôt dire « qu'on peut s'y ramener » ?
Mince, j'accuse le coup...
Sinon par rapport à ta deuxième question, non une intégrale simple sur $\R^2$ ce n'est pas le même objet qu'une intégrale double, et Fubini permet justement de passer de l'un à l'autre (ce qui est au moins aussi important que de pouvoir intervertir les intégrales dans une intégrale double).
Là encore, j'ai souvenir que selon les ouvrages c'est une définition ou un théorème...décidément...
Je devrais courrir ouvrir des bouquins...mais lesquels, tiens ?
Pour construire l'intégrale de Lebesgue, il suffit (!) d'appliquer le théorème de Riesz à la forme linéaire que l'on construit ci-dessous.
Tous les espaces vectoriels envisagés dans la suite sont réels.
Soit $d \in \N^*$; soit $\mathcal E$ le sous-espace vectoriel de $\R^{\R^d}$engendré par les $\mathbf 1_{\prod_{i=1}^d ]a_i,b_i]}$ où $(a_i)_{1\leq i \leq d},(b_i)_{1\leq i \leq d} \in \Q^d$. Il existe (*)une (unique) forme linéaire $I$ sur $\mathcal E$ telle que pour tous $x,y \in \Q^d$ tels que $\forall i\in \{1,...,d\}, x_i \leq y_i$, on a $I \left(\mathbf 1_{\prod_{i=1}^d ]x_i,y_i]}\right)=\prod_{i=1}^d (y_i - x_i)$.
$I$ est également l'unique forme linéaire sur $\mathcal E$ invariante par translation (i.e. telle que $I(\tau_v f)=I(f)$ pour tous $v\in \Q^d$ avec $\tau_vf(x):= f(x+v)$ pour tous $v,x$) et telle que $I\left (\mathbf 1_{]0,1]^d }\right )=1$.
On peut noter que $I$ est croissante (si $f,g\in \mathcal E$ et $f\leq g$ alors $I(f) \leq I(g)$ -ou, ce qui est équivalent, pour toute $u\in \mathcal E$ positive, $I(u)\geq 0$).
Soit désormais $\mathcal F$ l'ensemble de toutes les fonctions de $\R^d$ dans $\R$ telles que pour tout $\varepsilon>0$, il existe $g,h\in \mathcal E$ telles que $g \leq f \leq h$ et $I(h)-I(g)\leq \varepsilon$. Alors $\mathcal F$ est un sous-espace vectoriel de $\R^{\R^d}$ et $\mathcal E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F$. De plus $I$ admet un unique prolongement en une application $I'$ de $\mathcal F$ dans $\R$ croissante et ce prolongement est encore une forme linéaire.
On peut vérifier que
1°) Pour tous $x,y \in \R^d$ tels que $x_i \leq y_i$ pour tout $i$, $\mathbf 1_{\prod_{i=1}^d [x_i,y_i]}\in \mathcal F$ et que $I'\left (\mathbf 1_{\prod_{i=1}^d [x_i,y_i]} \right)=\prod_{i=1}^d (y_i - x_i)$.
2°) Toute fonction continue à support compact est dans $\mathcal F$ (par le théorème de Heine).
En fait $\mathcal F$ est exactement l'ensemble des fonctions Riemann-intégrables.
3°) Soit $\mathcal A$ un ensemble de parties de $\R^d$ contenant toutes les parties de la forme $\prod_{i=1}^d [x_i,y_i]$
avec $x,y \in \R^d$, stable par translations et unions finies et $\nu:\mathcal A \to \R$ une fonction positive invariante par translation et telle que pour tous $X,Y\in \mathcal A$, $\nu(X\cup Y)=\nu(X)+\nu(Y)$ dès que $X\cap Y=\emptyset$. Alors il existe $\lambda\in \R$ positif tel que pour tout $Z\in \mathcal A$, si $\mathbf 1_Z \in \mathcal F$, alors $\nu(Z)=\lambda I'\left( \mathbf 1_Z \right)$ (cela se voit avec des encadrements).
Bref si $\nu$ exprime la "plausibilité" de tomber dans $Z$, on voit que sous réserve d'hypothèses d'invariance géométrique
très simples, $\nu$ ne peut qu'être proportionnelle à l'aire.
[size=x-small](*)Si $n\in \N^*$, appelons $\mathcal P_n$ l'ensemble des réunions finies d'ensembles de la forme $\prod_{i=1}^d \left] \frac{u_i}{n}, \frac{v_i}{}n\right]$ avec $u,v \in \Z^d$ et posons pour $F\in \mathcal P_n$,$\mu_n(F):= n^{-d} \text{card} \{a \in \Z^d \mid \frac{a}{n} \in F\}$ (c'est juste le nombre d'hypercubes dont est composé $F$ divisé par $n^d$). On peut vérifier que si $m$ divise $n$ et $F\in \mathcal P_m$ alors $F \in \mathcal P_n$ et $\mu_m(F)=\mu_n(F)$. Ainsi pour tous $p,q\in \N^*$, et tout $G\in \mathcal P_p \cap \mathcal P_q$, $\mu_p(G)=\mu_q(G)$ (appliquer ce qui précède au ppcm de $p$ et $q$ ou même simplement à leur produit). De plus $\mathcal E$ est l'espace engendré par les fonctions caractéristiques d'éléments de $\bigcup_{n\geq 1} \mathcal P_n$.
Ensuite, faire comme dans cette discussion: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1632032,1633974#msg-1633974[/size]
[Henri Lebesgue (1875-1941) prend toujours une majuscule. AD]
On a par définition
$\int 1_A d\lambda=\lambda(A)$
où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue et $A$ est un ensemble mesurable par la mesure de Lebesgue.
Je me demande à présent pourquoi $\lambda(A)=$aire$(A)$.
Il faudrait que je regarde comment est construit $\lambda$.