Urnes de Polya
Bonjour à tous
Je me permets de vous écrire car je n'arrive pas à résoudre un exercice. L'énoncé est le suivant.
Soit une urne de Polya avec r balles rouges et v vertes, à t=0. Montrez que X=lim n->infini Xn suit une distribution Beta (r,v).
Je suis arrivé au résultat suivant.
P(j balles rouges au n-ème tirage) = (j parmi n)* B(r+j, v+n-j)/B(r+v). En fait, j'ai considéré la probabilité de tirer j balles rouges de suites, puis des vertes pour le restant et je voulais montrer que ces probabilités étaient indépendantes de l'ordre du tirage, mais ensuite je ne vois pas comment faire.
Merci beaucoup à vous d'avance pour votre aide.
Je me permets de vous écrire car je n'arrive pas à résoudre un exercice. L'énoncé est le suivant.
Soit une urne de Polya avec r balles rouges et v vertes, à t=0. Montrez que X=lim n->infini Xn suit une distribution Beta (r,v).
Je suis arrivé au résultat suivant.
P(j balles rouges au n-ème tirage) = (j parmi n)* B(r+j, v+n-j)/B(r+v). En fait, j'ai considéré la probabilité de tirer j balles rouges de suites, puis des vertes pour le restant et je voulais montrer que ces probabilités étaient indépendantes de l'ordre du tirage, mais ensuite je ne vois pas comment faire.
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Réponses
Merci beaucoup
D'habitude la convergence s'établit par un argument de martingale.
En revanche la détermination de la loi limite est subtile.
Il y a plusieurs méthodes possibles.
On peut le trouver dans mon livre http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre-pps/ avec un nombre quelconques de couleurs.
C'est fait avec deux couleurs (le cas classique) chez Baldi-Mazliak-Priouret, et sans doute de nombreux autres livres.
Il y a aussi un cours de Brigitte Chauvin sur le net.