Écriture somme
Salut,
Soit $(E,\mathcal E)$ un espace mesurable et $f:E\rightarrow\mathbb R$ mesurable positive. Le lemme fondamental d'approximation est connu. J'essaie de montrer qu'il existe $(a_n)_{n\in\mathbb N}\in (\mathbb R_+)^{\mathbb N}$ et $(A_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal E^{\mathbb N}$ tels que $f=\sum_{n\in\mathbb N}a_n\mathbf 1_{A_n}$.
Par le lemme, il existe $(s_n)_{n\in\mathbb N}$ étagée positive croissante vers $f$. En remarque que $f=s_0+\lim_{n}\sum_{k=0}^n s_{k+1}-s_k=s_0+\sum_{k\geq 1}(s_{k+1}-s_k)$, comme $s_0$ et les $s_{k+1}-s_k$ sont étagées positives, on peut écrire :
$s_0=\sum_{i=0}^{n_0}a_{0,i}\mathbf 1_{A_{0,i}}$ avec les $a_{0,i}\in\mathbb R_+$ et $A_{0,i}\in\mathcal E$
$\forall k\geq 1, s_{k+1}-s_k=\sum_{i=0}^{n_{k+1}}a_{k+1,i}\mathbf 1_{A_{k+1,i}}$ avec les $a_{k+1,i}\in\mathbb R_+$ et $A_{k+1,i}\in\mathcal E$.
Ainsi, $f=\sum_{k\in\mathbb N}\sum_{i=0}^{n_k}a_{k,i}\mathbf 1_{A_{k,i}}$
Il ne me manque pas grand chose, mais comment obtenir la forme de la somme voulue ?
Soit $(E,\mathcal E)$ un espace mesurable et $f:E\rightarrow\mathbb R$ mesurable positive. Le lemme fondamental d'approximation est connu. J'essaie de montrer qu'il existe $(a_n)_{n\in\mathbb N}\in (\mathbb R_+)^{\mathbb N}$ et $(A_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal E^{\mathbb N}$ tels que $f=\sum_{n\in\mathbb N}a_n\mathbf 1_{A_n}$.
Par le lemme, il existe $(s_n)_{n\in\mathbb N}$ étagée positive croissante vers $f$. En remarque que $f=s_0+\lim_{n}\sum_{k=0}^n s_{k+1}-s_k=s_0+\sum_{k\geq 1}(s_{k+1}-s_k)$, comme $s_0$ et les $s_{k+1}-s_k$ sont étagées positives, on peut écrire :
$s_0=\sum_{i=0}^{n_0}a_{0,i}\mathbf 1_{A_{0,i}}$ avec les $a_{0,i}\in\mathbb R_+$ et $A_{0,i}\in\mathcal E$
$\forall k\geq 1, s_{k+1}-s_k=\sum_{i=0}^{n_{k+1}}a_{k+1,i}\mathbf 1_{A_{k+1,i}}$ avec les $a_{k+1,i}\in\mathbb R_+$ et $A_{k+1,i}\in\mathcal E$.
Ainsi, $f=\sum_{k\in\mathbb N}\sum_{i=0}^{n_k}a_{k,i}\mathbf 1_{A_{k,i}}$
Il ne me manque pas grand chose, mais comment obtenir la forme de la somme voulue ?
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Réponses
L'ensemble \(\lbrace (k,i)\in\N^2 \mathbin{;} i\leqslant n_k\rbrace\) est dénombrable : il suffit donc de réindexer la somme double…
Soit $\sigma$ une bijection entre $\mathbf N$ et $\{(i,j)\in\mathbf N^2 : 0\leq j < n_i+1\}$ on a alors $f=\sum_{k=1}^\infty a_{\sigma(k)}\mathbb 1_{A_{\sigma(k)}}$.
Si ça t’intéresse voici une autre façon de résoudre l'exercice :
On définit $g_1=1\cdot\mathbb 1_{\{f\geq 1\}}$ puis par récurrence
$$g_{k+1}=g_k +\frac 1 {k+1} \cdot \mathbb 1_{\{f-g_k\geq 1/(k+1)\}}$$
On vérifie (par récurrence) que les $g_k$ sont bien mesurables et on montre ensuite facilement que $\sum_{k=1}^n g_k$ converge vers $f$.