Loi uniforme
Bonjour,
Voici un exercice sur la loi uniforme où j'ai un doute.
Antoine et Barbara se donnent rendez-vous entre 19h et 20h.
Antoine arrive à 19h30 et repart à 19h45.
L'instant d'arrivée de Barbara suit la loi uniforme sur [19;20]. Barbara attend 15 minutes avant de repartir sauf si elle arrive après 19h45, dans ce cas elle part à 20h.
a) quelle est la probabilité qu'Antoine et Barbara se rencontrent sachant que lorsque Antoine arrive, il ne trouve personne ?
b) quelle est la probabilité qu'Antoine et Barbara se rencontrent sachant que lorsque Barbara arrive, Antoine n'est pas là ?
J'ai pensé à ceci :
a) On note X la variable aléatoire qui indique l'instant d'arrivée de Barbara en minutes à partir de 19h.
Il faut donc selon moi calculer la probabilité de {30 < X < 45) sachant X>30. On trouve alors 0.5
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance.
Voici un exercice sur la loi uniforme où j'ai un doute.
Antoine et Barbara se donnent rendez-vous entre 19h et 20h.
Antoine arrive à 19h30 et repart à 19h45.
L'instant d'arrivée de Barbara suit la loi uniforme sur [19;20]. Barbara attend 15 minutes avant de repartir sauf si elle arrive après 19h45, dans ce cas elle part à 20h.
a) quelle est la probabilité qu'Antoine et Barbara se rencontrent sachant que lorsque Antoine arrive, il ne trouve personne ?
b) quelle est la probabilité qu'Antoine et Barbara se rencontrent sachant que lorsque Barbara arrive, Antoine n'est pas là ?
J'ai pensé à ceci :
a) On note X la variable aléatoire qui indique l'instant d'arrivée de Barbara en minutes à partir de 19h.
Il faut donc selon moi calculer la probabilité de {30 < X < 45) sachant X>30. On trouve alors 0.5
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Comment ça? ils se rencontrent seulement si X est entre 30 et 45 non?
sachant que lorsque Antoine arrive, il ne trouve personne : cela signifie que Barbara arrive après 19h30 donc X>30
la probabilité qu'Antoine et Barbara se rencontrent : X doit être entre 30 et 45
cela peut aussi signifier qu'elle est arrivée entre 19h00 et 19h15, et déjà repartie lorsqu'Antoine arrive.
Donc on calcule la proba que 30<X<45 sachant que[ 0<X<15 union X > 30] si je comprends bien ?
Concernant la question b), comme Antoine n'est pas là lorsque Barbara arrive, pour qu'ils se voient, Barbara doit arriver entre 19h15 et 19h30. Donc je dirais qu'il faut calculer P(15<X<30). Qu'en pensez vous?
Chacune des questions porte sur une probabilité conditionnelle : probabilité de \(A\) sachant \(B\), i. e. \(\frac{P(A\cap }{P(B)}\) sous réserve que \(P(B)\) soit non nulle.
Dans les deux questions, il s'agit du même événement \(A\) : «Antoine et Barbara se rencontrent».
Comment s'exprime cet événement à l'aide la variable aléatoire \(X\) ?
Pour la première question, on conditionne par l'événement \(B_1\) : «Barbara n'est pas là lorsqu'Antoine arrive», que tu as correctement exprimé sous la forme \((0<X<15)\cup(30<X<60)\).
Comment s'exprime \(A\cap B_1\) en fonction de \(X\) ? quelles sont les probabilités de \(A\cap B_1\) ? de \(B_1\) ? de \(A\) sachant \(B_1\) ?
Pour la première question, on conditionne par l'événement \(B_2\) : «Antoine n'est pas là lorsque Barbara arrive».
Comment s'expriment \(B_2\) et \(A\cap B_2\) en fonction de \(X\) ? quelles sont les probabilités de \(A\cap B_2\) ? de \(B_2\) ? de \(A\) sachant \(B_2\) ?
$A = \{15 < X <45\}$
$A \cap B_1 =\{30 <X<45\}$
$p(A \cap B_1)=(45-30)/60=1/4$
$p(B_1)=p(0<X<15)+p(30<X<60)=15/60+30/60=3/4$ (intersection vide)
donc $p_{B_1}(A)=1/4*4/3=1/3$
$B_2=\{0 <X<30\} \cup \{45 <X<60\}$
$A \cap B_2 =\{15 <X<30\}$
$p(A \cap B_2)=(30-15)/60=1/4$
$p(B_2)=p(0<X<30)+p(45<X<60)=30/60+15/60=3/4$
donc $p_{B_2}(A)=1/4*4/3=1/3$
Qu'en pensez vous?