Espérance conditionnelle

arnaut · April 2018

Bonjour
Je bloque sur ce problème :

Si le couple (X,Y) est gaussien de paramètre µ et matrice de variance covariance sigma (non diagonale),
quelle est la loi de E[X | X - Y] ?

Merci pour votre aide

Lucas · April 2018

Bonjour,

On a que $(X,X-Y)$ est également un vecteur gaussien. Ensuite, tu as sûrement un résultat dans ton cours qui te dit que pour les vecteurs gaussiens l'espérance conditionnelle est toujours une fonction affine du truc par rapport auquel tu conditionnes.

Tu n'as plus que 2 réels à évaluer!

Chalk · April 2018

Moi je ne crois pas que j'ai ce résultat sous la main :-P

Aurais-tu un lien ou bien une preuve ?

marsup · April 2018

Pour les coordonnées d'un vecteur gaussien, la décorrélation implique l'indépendance.

$%
\DeclareMathOperator{\cov}{cov}%
\DeclareMathOperator{\var}{var}%
$
L'espérance conditionnelle $E[X_2|X_1]$ est donc fournie par la régression linéaire $\frac{\cov(X_1,X_2)}{\var(X_1)}(X_1-\mu_1)+\mu_2$ de $X_2$ par $X_1$ au sens des moindres carrés.