Décrire l'ensemble de convergence de $(f_n)$

Bonjour,
je bute sur l'exercice (apparemment classique) de la convergence en mesure.

La convergence en mesure c'est : $$\forall \epsilon > 0, \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \mu (\{ |f_n - f | > \epsilon \}) = 0
$$ Cette propriété n’entraîne pas la convergence presque partout des $f_n$ : si on prend un intervalle de taille $\frac{1}{n}$, qu'on le balade sur tout $[0;1]$ par exemple, la suite des fonctions $1_{[\frac{k}{n}; \frac{k+1}{n}]}$ (indexée sur $n$ et $k < n$) converge en mesure vers la fonction nulle si je ne me suis pas planté quelque part, par contre elle ne converge pas presque partout.

Par contre on peut montrer qu'on peut en extraire une suite qui converge presque partout, et c'est là que je bute. Dans mes recherches, une version de l'énoncé suggère de passer par le Lemme de Borel Cantelli qui dit que si la somme des mesures de $A_n$ est finie alors la mesure de la limite supérieure est nulle.
Extraire une suite de fonctions dont la série des mesures des ${|f_n - f| > \frac{1}{n}}$ ça se fait, et du coup la $\limsup$ de ces ensembles est de mesure nulle.

Sauf que je me sens pas à l'aise sur le fait que la limite supérieur de ces ensembles est ou au moins contient les points de divergences de la suite de fonctions. Par rapport à la définition de la convergence en mesure, on a rajouté la réunion donc c'est une condition plus forte, mais je n'arrive pas à me convaincre que c'est suffisant. En fait j'ai l'impression de manquer d'une définition en terme d'ensemble des points de divergence d'une suite de fonctions ; j'imagine qu'on peut en trouver une à partir de la définition de la convergence des suites, mais ça me parait bizarre qu'il n'y en ait pas vraiment une toute faite.