Convergence dans $L^1$
Salut, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît.
Soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace probabilisé ($\mu(E)=1$), et soit $(X_n)_n$ une suite de v.a. positives de $L^1$ qui converge en probabilité vers $X \in L^1$. Prouver que
$\lim_n{\int{X_n d\mu}=\int{X d\mu}}$ si et seulement si $(X_n)_n$ converge vers $X$ dans $L^1$
Le sens réciproque est très simple en utilisant (inégalité triangulaire inversée).
our le sens direct j'ai essayé d'appliquer le lemme de Fatou à la suite de fonction positive $$X_n+|X|-|X_n-X|.$$ Mais le problème est que la convergence de $(X_n)_n$ vers $X$ est en mesure (et pas $\mu$-presque partout).
Alors comment la convergence en mesure va nous servir pour vérifier le sens direct ??
Merci d'avance.
Soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace probabilisé ($\mu(E)=1$), et soit $(X_n)_n$ une suite de v.a. positives de $L^1$ qui converge en probabilité vers $X \in L^1$. Prouver que
$\lim_n{\int{X_n d\mu}=\int{X d\mu}}$ si et seulement si $(X_n)_n$ converge vers $X$ dans $L^1$
Le sens réciproque est très simple en utilisant (inégalité triangulaire inversée).
our le sens direct j'ai essayé d'appliquer le lemme de Fatou à la suite de fonction positive $$X_n+|X|-|X_n-X|.$$ Mais le problème est que la convergence de $(X_n)_n$ vers $X$ est en mesure (et pas $\mu$-presque partout).
Alors comment la convergence en mesure va nous servir pour vérifier le sens direct ??
Merci d'avance.
Réponses
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J'ai essayé de travailler avec les suites extraites càd $X_n$ converge en probabilité alors on peut extraire une sous-suite $(X_{\varphi(n)})_{n}$ telle que $X_{\varphi(n)}$ converge $\mu$-presque partout vers $X$, or $\lim_n{\int_E{X_n d\mu}}=\int_{E}Xd\mu$ alors $\lim_n{\int_E{X_{\varphi(n)}d\mu}}=\int_{E}Xd\mu$ (car toute sous-suite extraite, d'une suite convergente, est convergente), maintenant, on peut appliquer le lemme de Fatou à la suite : $$X_{\varphi(n)}+X-|X_{\varphi(n)}-X|
$$ On deduit que $\quad\displaystyle \lim_n||X_{\varphi(n)}-X||_1=0$
mais $\quad\displaystyle ||X_n-X||_1\leq ||X_{\varphi(n)}-X_n||_1+||X_{\varphi(n)}-X||_1$
si on peut vérifier que $\quad\displaystyle \lim_n||X_{\varphi(n)}-X_n||_1=0$
alors on obtient le résultat, avez-vous une idée comment prouver que $\lim_n||X_{\varphi(n)}-X_n||_1=0 \quad ??$
[Ne pas abuser des expressions centrées. ;-) AD] -
quelqu'un peut m'aider s'il vous plait?
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J'ai lu rapidement mais j'ai l'impression que tu as fait le plus dur.
Il te manque le résultat suivant. Soit $u=(u_n)_n$ une suite à valeurs dans un espace métrique $E$. Soit $\ell \in E$. Alors $u$ converge vers $\ell$ si et seulement si, de toute sous-suite de $u$, on peut extraire une sous-suite convergeant vers $\ell$. -
J'aimerais savoir s'il y a une methode plus simple !!
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Comprends pas. $\Pr(X_n=n)=1/n,$ $\Pr(X_n=0)=(n-1)/n$ et $X=0$ ne fournit-il pas un contre exemple?
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Pour que ça soit un contre-exemple il faut vérifier que
$* \ (X_n)_n$ converge en probabilité vers 0, ce qui est vrai,
$* \ (X_n)_n$ ne converge pas dans $L^1$ (vers 0) ce qui est vraie car la limite est 1
$*$ la relation : $\lim_n{\int_E{X_n}d\mu}=\int_E{X}d\mu$ doit être vérifiée !! (ce qui n'est pas le cas dans votre contre-exemple $\lim_n{\int_E{X_n}d\mu}=1$ (différent de 0) -
Plus simple ? Le lemme cité par ponctuel est très simple (et très utile). Tu as $X_n$ qui converge en probabilité vers $X.$ Tu prends $A$ une partie infinie quelconque de $\Bbb{N}^*,$ comme $(X_n)_{n\in A}$ converge en proba vers $X$ il existe une sous-suite $(X_n)_{n\in B}$ qui converge presque sûrement vers $X.$
Après tu fais ton raisonnement avec pour tout $n\in B\;\; Y_n=X_n+X-\vert X_n-X\vert,$ tu appliques le lemme de Fatou pour obtenir $$\mathbb{E}(2X)\le \liminf\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}(Y_n).\quad (1)
$$ Par hypothèse $\mathbb{E}(X_n)\xrightarrow[n\to \infty]{} \mathbb{E}(X),$ d'où $\liminf\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}(Y_n)=2\mathbb{E}(X)-\limsup\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}(\vert X_n-X\vert).\quad (2)$
Donc en combinant $(1)$ et $(2)$ on a $$\limsup\limits_{n\to \infty,\,n\in B}\mathbb{E}(\vert X_n-X\vert)\le 0, $$ le résultat s'ensuit (sauf erreurs).
EDIT1: $\le$ au lieu de $\ge$
EDIT2: Je ne connaissais pas la commande \limits, merci AD. -
Bien sûr il y a une preuve plus PROBABILISTE (que celle du lemme de la convergence des suites).
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Si ce lemme t'ennuie (la preuve est pourtant plus simple que ce que tu as fait), tu peux aussi montrer une version de Fatou avec convergence en probabilité. On peut la prouver en extrayant une première fois pour que la limite inférieure des espérances soit une limite, puis une deuxième fois pour que la convergence en probabilité devienne une convergence presque sûre.
Tant que j'y pense, le résultat que tu cherches à montrer est le lemme de Scheffé, si tu veux chercher d'autres preuves sur le net. -
Ponctuel, j'ai réussi à vérifier le lemme de Fatou version convergence en probabilité (puisque $\liminf$ est une valeur d’adhérence), mais sur quelle suite de fonctions faut-il appliquer le lemme pour vérifier que $X_n$ converge vers $X$ dans $L^1$ ?)
N.B. Cet exercice s'agit du lemme de Scheffé version convergence en probabilité, j'ai cherché sur le net pour une preuve mais je n'ai rien trouvé concernant cette version (j'ai trouvé la version presque sûre, et la version convergence en loi [si les v.a. sont à densités...], je ne sais s'il y a un cours particulier qui explique la version convergence en probabilité) -
Dans ton premier message tu expliques que tu aimerais bien appliquer le lemme de Fatou à une suite de variables aléatoires. Tu rajoutes que tu es gênée car tu n'as qu'une convergence en probabilité. Mais vu que le lemme de Fatou reste vrai avec la convergence en probabilité tu peux l'appliquer.
Tu ne veux vraiment pas prouver et utiliser le petit lemme ? Je ne comprends ce qui te gêne. -
Excusez-moi, en résolvant j'ai fait une faute, voici le raisonnement que j'ai fait en appliquant le lemme de Fatou (version convergence en probabilité).
Je vais l'appliquer à la suite de fonction $X_n+X-|X_n-X|$ qui converge en probabilité vers $2X$ alors on obtient : $$
2\int_E{Xd\mu} \leq \liminf_n{\int_E{(X_n+X-|X_n-X|)d\mu}}=2\int_E{X}d\mu-\limsup_n\int_E{{|X_n-X|}d\mu}
$$ alors on obtient : $\quad \displaystyle 0\geq \limsup_n\int_E{|X_n-X|}d\mu\geq 0$
alors on a $$\lim_n{||X_n-X||_1}=0.$$ D'où le résultat. -
Merci pour votre aide!! :-)
-
N.B: En s'inspirant de cet exercice, j'ai ouvri une nouvelle discussion concernant les trois théoremes classiques de convergence, version convergence en mesure (condition plus faible), voici le site:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1649524
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