Je lance une pièce jusqu'à obtenir face

Bonjour tout le monde
Ma question concerne l'utilisation de la théorie pour modéliser "rigoureusement". Pas calculer les valeurs des probabilités.

En guise d'introduction à un poly que j'écris, je me demande comment modéliser (i.e. poser $\Omega$, $\mathcal{F}$, $\mathbb{P}$) pour la situation suivante.

On peut prendre $$\Omega = \{F, PF, PPF, PPPF, \ldots\} \quad\text{ et }\quad \mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega)$$ mais ensuite pour définir $\mathbb{P}$ ça ne semble pas évident puisque les singletons ne sont pas equi-probables.

Ou alors on prend $\Omega = \{ \mathbb{N} \to \{P, F\}\} = \{P, F\}^\mathbb{N}$, dans ce cas on est d'accord intuitivement que les singletons devraient être équiprobables. On se restreint à la donnée du problème grâce à $$ \mathcal{F} = \sigma(\{A_1, A_2, \ldots\}) \quad\text{ où }\quad A_i = \{u \in \Omega \mid u_i = F \land \forall j < i,\ u_j \neq F\}$$
Ensuite, on pourrait sortir la mesure suivante de notre chapeau : $\mathbb{P}(A_i) = 1/2^i$, mais je voudrais éviter de faire ça. Je cherche une construction plus intuitive. Ou pour le dire autrement, je cherche à justifier cette étape, peut-être en utilisant une limite de modèles finis ? Mes connaissances en théorie de la mesure sont presque inexistantes.

Mon hypothèse c'est que si $\Omega$ était fini, alors utiliser la mesure uniforme serait compréhensible intuitivement. Je cherche un équivalent pour ce $\Omega$ infini.

Voilà pour résumer, je cherche donc un moyen de modéliser l'énoncé ci-dessus d'une façon à peu près intuitive. Mon objectif est pédagogique. Peut-être que je n'ai pas la bonne approche. Je m'en remets à vous.