Équation de Chernoff

Bonjour.

Le calcul se fait facilement, puisque le nombre de 1 sortis suit une loi binomiale B(N,p₁). Seul petit problème : on n'a pas de formule explicite pour les probabilités cumulées de la loi binomiale. Et il est évident que N minimum dépend de p₁. Mais comme il est facile de voir que N augmente quand $p_1\in[0,05, \frac 1 2]$ se rapproche de 0,05, on peut trouver un N "minimum" global.

A toi de traiter le problème avec les formules de base. Si tu parles de Chernoff, tu es normalement capable de traiter des exercices élémentaires.

NB : Tu parles de "découvrir l'espérance" ?? Veux-tu dire "estimer $p_1$ ?

Cordialement.

Je propose N = 19700 ..

Notation : f désigne la fréquence observée : f = "nombre d'apparitions" / N

Alors, quel que soit p dans [0,1],
p appartient à l'intervalle [ f - 0.01, f + 0.01 ] avec une probabilité supérieure à 0.995

Ce qui est faux avec 19699. La "difficulté" vient lorsque p est proche de 0.5

Pour avoir une meilleure précision lorsque p est loin de 0.5 , je propose n = 22 500

Et l'intervalle $U = [\ f-3\sqrt {f \left( 1-f \right) / n},\ \ f+3 \sqrt {f \left( 1-f \right)/ n} \ ]$
où f désigne la fréquence observée : f = "nombre d'apparitions" / n

Ainsi U est un intervalle de rayon ${\frac {1}{50}}\,\sqrt {f \left( 1-f \right) }$ donc toujours inférieur ou égal à 1 / 100.

Quel que soit p dans [0, 1], la probabilité que p appartienne à U est au moins de 995 / 1000 .
Comme p > 0.01 alors la probabilité est proche de 997 / 1000.

Gérard,

Tomber sur 1 est une chose qui n'apporte pas plus d'information que tomber sur 0.
C'est la variance qui indique la vitesse de convergence ! Ici , pour la loi binomiale, on a V = N.p.(1-p) donc, quand p est proche de 0 (ou de 1), la variance tend vers 0, ce qui implique un intervalle de confiance plus petit pour un nombre d'essais N fixé, ou un nombre d'essais N plus petit pour un rayon d'intervalle fixé (comme ici, à 1 / 100).

Prenons un exemple concret si tu veux bien vérifier (par expérience ou par calcul via loi binomiale) : 
Je note f la fréquence observée sur n essais avec n = 10 000.

- choisis p entre 0.4 et 0.6,
alors [ f – 1 /n^0.5 , f + 1 /n^0.5 ] est un intervalle de confiance à 95%

- choisis p entre 0 et 0.1,
alors [ f – 0.6 /n^0.5 , f + 0.6 /n^0.5 ] est un intervalle de confiance à 95%, mais c'est un intervalle presque deux fois plus petit.

Effectivement, tu as raison, on cherche ici un intervalle fixe (j'avais en tête un intervalle relatif sur p, qui est à priori plus petit quand p tend vers 0).

Cordialement.