Retrouver formule espérance v.a.r.d.i.

Bonjour,

Soit $X:(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\rightarrow\mathbb R$ une variable aléatoire réelle (donc $X$ est $\mathcal F$-mesurable) discrète (donc $X(\Omega)$ est dénombrable (équipotent à une partie de $\mathbb N$)) intégrable (donc $\mathbb E(X)$ existe).

J'essaie de retrouver la formule $\mathbb E (X)=\sum_{x\in X(\Omega)}x\mathbb P(X=x)$ à partir de la théorie de la mesure, à savoir $\mathbb E(X)=\int_{\Omega}X d\mathbb P=\int_{\mathbb R}x\mathbb P_X (dx)$ mais je ne sais pas comment m'y prendre.
J'imagine que c'est plus simple à partir de la seconde égalité qui lui ressemble beaucoup, mais comment le faire rigoureusement ?

($\mathbb P_X$ est la loi de $X$)