Propriétés de l'EVM de la loi géométrique
Salut les mathématiciens. J’espère que vous allez bien. S'il vous plaît, j'ai une question qui me dérange. En fait, on me demande de déterminer les propriétés de l'estimateur de vraisemblance (EVM) de la loi géométrique de paramètre $p$.
J'ai déterminé que l'EVM de la loi géométrique est $1/\overline{X}.$
Où $\overline{X} $ est la moyenne empirique : $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{¡}$ où $X_{i}$ est un $n$ échantillon.
Maintenant pour montrer que cet estimateur est sans biais, je n'arrive pas car je ne sais pas si $E(1/\overline{X})=1/E(\overline{X}).$
Une aide s'il vous plaît
J'ai déterminé que l'EVM de la loi géométrique est $1/\overline{X}.$
Où $\overline{X} $ est la moyenne empirique : $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{¡}$ où $X_{i}$ est un $n$ échantillon.
Maintenant pour montrer que cet estimateur est sans biais, je n'arrive pas car je ne sais pas si $E(1/\overline{X})=1/E(\overline{X}).$
Une aide s'il vous plaît
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Réponses
En regardant un exemple simple (2 valeurs de même proba), on se convainc immédiatement que la moyenne des inverses n'est pas l'inverse de la moyenne.
Toujours examiner des exemples simples quand on se pose ce genre de question.
Cordialement.
En fait, on me donne $S=\sum_{i=1}^{n}X_{i}, $ où les $X_{i}$ suivent la loi géométrique de paramètre $1-p$.
Entre autres, sa loi est définie comme : $P(X=k)=(1-p) p^{k-1}$.
Comme $S$ est une statistique exhaustive de $p$, et la variable aléatoire $Y=1$ si$ X_{1}>1$ et $0$ sinon est un estimateur sans biais de $p$.
On sait d'après le théorème de Rao Blackwell, que $E(Y/S)$ est un meilleur estimateur de $p$.
Bon après calcul, j'ai pu déterminer que $E(Y/S)=1-\frac{(n-1)}{S-1}$.
Ensuite, je devais montrer que cet estimateur est sans biais et convergent.
Pour le biais, j'ai utilisé le fait que $E(E(Y/S))=E(Y)=p$.
Mais pour la convergence, je pensais utiliser le fait que $Var(Y)=Var(E(Y/X))+E(Var(Y/X))$. Mais je n'ai pas pu l'utiliser.
Une aide, je vous en prie.
Hum, je ne vois pas trop le rapport.
Pour résoudre le problème de la convergence, tu peux déterminer le comportement asymptotique de $(n-1)/S$ sans trop d'effort.