Fonction d'autocorrélation

yassinyassin100
yassinyassin100
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
J'ai besoin d'aide sur une question et merci d'avance.

$(X_t)_{t\in \mathbb R^+}$ un processus gaussien centré et stationnaire, et on définit le processus $Y_t=X_t+X_t^3$
La question est de calculer la fonction d'autocorrélation de $Y$ en fonction de celle de $X$.

Voilà ce que j'ai écrit
$\displaystyle R_{YY}(t,s)=E(Y_tY_s)=E(X_tX_s)+E(X_t^3X_s+X_tX_s^3+X_t^3X_s^3) $
J'ai besoin d'une indication pour calculer le terme $E(X_t^3X_s+X_tX_s^3+X_t^3X_s^3) $
Merci.

Réponses

  • paf
    paf
    Commence par utiliser la linéarité de l'espérance et éventuellement la définition d'un processus gaussien.
  • yassinyassin100
    yassinyassin100
    Bonjour @paf
    Evidemment,
    $E(X_t^3X_s+X_tX_s^3+X_t^3X_s^3) = E(X_t^3X_s) +E(X_tX_s^3)+E(X_t^3X_s^3)$
    je n'ai aucun idée comment calculer les termes a droit ?
  • P.
    P.
    Il te faut le calcul auxillaire de $\mathbb{E}(X^3Y)$ et de $\mathbb{E}(X^3Y^3)$ quand$$(X,Y)\sim N(0,\left[\begin{array}{cc}1&\rho\\\rho&1\end{array}\right]). $$ On peut proceder ainsi.: Si $Z_1$ et $Z_2$ sont iid $N(0,1)$ et si $\rho=\cos 2 t$ alors
    $$(X,Y)\sim (Z_1\cos t +Z_2 \sin t, Z_1\cos t -Z_2 \sin t)$$ Cela te mene a des calculs de $\mathbb{E}(Z_1^aZ_2^b)$ avec $a,b\leq 4$ tres faciles car $\mathbb{E}(Z_1^4)=3$ et les moments impairs sont nuls.
  • yassinyassin100
    yassinyassin100
    Merci @P. pour la remarque,
    J'ai remarqué une petite remarque,
    en effet si je pose le vecteur $X_t$ et $ aX_t+X_s$ et je choisi le $a$ tell que $X_t$ et $ aX_t+X_s$ soient indépendants, (petit calcule de la covariance puisque le vecteur suite un gaussienne )
    alors sous le condition sur a telle que les deux variables sont indépendants j'ai
    $\displaystyle E(X_t(a^3X_t^3+X_s^3 ) )=0=E(a^3X_t^4 ) +E(X_tX_s^3) $ donc $E(X_tX_s^3) =- aE(X_t^4 ) $,
    et $\displaystyle E(X_t^4 ) =\frac{4!}{4\times 2!}\sigma^4 $
    j'espère que je n'ai pas dis des bêtises
    Merci
  • P.
    P.
    Comprends rien. Tu penses qu'il existe $a$ tel que $X_t$ et le couple $(aX_t,X_s)$ soient independants? Pas possible, car cela entrainerait que $X_t$ et $aX_t$ sont independants. Mais tu veux sans doute dire:' je cherche $a$ tel que $X_t$ et $aX_t+X_s$ soient independants'. Cela est equivalent a ce qu'on disait, mais c'est peut etre plus rapide
  • yassinyassin100
    yassinyassin100
    oui oui c'est un faut d’écriture je voulais de dire $X_t $ et $(aX_t+X_s)$ au lieu de mettre le symbole + j'ai met la virgule
  • P.
    P.
    He! $X_t$ et $aX_t+X_s$ independantes n'entraine nullement $X_t$ et $aX^3_t+X^3_s$ independantes. Tu as en revanche le droit d'ecrire$$0=\mathbb{E}(X_t^3(aX_t+X_s))=3a\sigma^4+\mathbb{E}(X_t^3X_s).$$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 4

abcd +3 Invités