Ensemble d'indices toujours dénombrable

bahpro · May 2018

Bonsoir,

Soient $(\Omega, \mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé, $I$ un ensemble quelconque et $(A_i)_{i\in I}\in\mathcal F^I$ deux à deux disjoints.

Pourquoi est-ce que $J=\{i\in I, \mathbb P(A_i)>0\}$ est dénombrable (équipotent à une partie de $\mathbb N$) ?

bisam · May 2018

Pour chaque $n\in\N^*$, il n'y a qu'un nombre fini d'indices $i\in I$ tels que $\dfrac{1}{n}>\mathbb{P}(A_i)\geq\dfrac{1}{n+1}$, sinon la famille des $\mathbb{P}(A_i)$ ne serait pas sommable.
La famille $J$ que tu cherches est la réunion de tous ces indices, donc elle est au plus dénombrable.

bahpro · May 2018

Merci, ça marche !

bahpro · May 2018

Je voulais en fait montrer que l'ensemble des points de discontinuité de la fonction de répartition d'une variable aléatoire est dénombrable. Maintenant c'est bon.

J'en profite parce que j'ai une autre question sur le même thème, cette fois par rapport au théorème ci-dessous. Pourquoi est-ce que pour montrer que $\mu=f.\lambda+\nu$, il suffit de montrer que pour tout $t\in\mathbb R, F(t)=\int_{]-\infty, t]}fd\lambda+\nu (]-\infty,t])$ ? 76032

bisam · May 2018

Pour parler un jargon que je maîtrise mal, je dirais que c'est parce que la famille $(\left]-\infty,t\right])_{t\in\R}$ engendre la tribu borélienne de $\R$.