Tribu engendrée

Salut

Soient $(\Omega,\mathcal F)$ un espace mesurable, $I$ un ensemble infini et $(\mathcal F_i)_{i\in I}$ une famille de sous-tribus de $\mathcal F$ indépendantes.

On pose $\ \mathcal Q=\bigcap\limits_{\substack{J\subset I\\ J\text { fini }}}\sigma (\mathcal F_k,\ k\in I\setminus J)\ $ et $\ \mathcal P=\bigcup\limits_{\substack{J\subset I\\ J\text { fini }}}\sigma (\mathcal F_k,\ k\in J)$.

Je n'arrive pas à montrer que $\mathcal Q\subset \sigma (\mathcal P)$.

J'ai pensé, comme $\mathcal Q$ est un $\pi$-système (c'est même une tribu), montrer que $\mathcal P$ est un $\lambda$-système, cela nous donnerait le résultat grâce au lemme de classe monotone. Toutefois, je bloque pour montrer que $\mathcal P$ est stable par réunion dénombrable croissante. Je pense que c'est une mauvaise piste. De plus, je n'ai pas utilisé l'indépendance, mais je ne vois pas comment le faire.
Merci d'avance.