Mélange de normales proche d'une normale

Si $V>0$ est indépendante de $Z\sim N(0,1)$ alors la densité $f$ de $X=Z\sqrt{V}$ est appelée un mélange de lois normales (par la variance). C'est spécialement utilisé quand $V$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Il est facile de montrer avec Plancherel que $f^2$ est intégrable si et seulement si $V$ n'est pas trop concentrée vers zéro (en fait $\mathbb{E}((V+V')^{-1/2})<\infty$ avec $V'\sim V$ et $V'$ indépendant de $V$). Il est également facile de montrer (toujours avec Plancherel) que la distance $L^2$ entre $f$ et la densité de $N(0,t)$ est alors atteinte en un unique $t_0$, obtenant ainsi une très bonne approximation $N(0,t_0)$ de $f$.

Voici ma question : connaissez-vous quelque chose d'approchant dans la littérature ? Je n'ai rien trouvé sur ces choses pourtant simples.