Convergence en loi

Bonjour, j'ai des questions que j'aime savoir les réponses, s'il vous plait, les questions sont indépendantes.
Dans un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A},P),$ $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une suite indépendantes de variables aléatoires réelles équidistribuées et de carré intégrable. On prend $\mu=\mathbb{E}[X_1],\sigma^2=Var(X_1)$

On note $$\overline X_n:=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k, \ \ \bar S_n^2:=\frac{1}{n-1}(\sum_{k=1}^nX_k^2-n\overline X_n^2), \ \ \overline S_n=\sqrt{\overline S_n^2},$$
1) Prouver que, pour tout $\alpha >0,$
$$\lim_nP(|\overline X_n-\mu| \leq \frac{\overline S_n \alpha}{\sqrt{n}})=2\phi(\alpha)-1$$
où $\phi$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

2) Soit $\beta$ un réel. On suppose dans cette question que $\mu \neq0$ et que $(\sqrt{n}(X_n-\beta1_{\left\{\overline X_n \neq0 \right\}}))_n$ converge en loi vers $\frac{1}{\mu}X$ où X est une variable aleatoire réelle. comment déduire alors que $(\sqrt{n}(X_n-\beta))_n$ converge en loi, et vers quelle varaible?

3) On suppose que $P_{X_n}=\frac{1}{2} \delta_1+\frac{1}{2} \delta_{-1},$ et que $(X_n)_n$ converge en loi vers Y telle que $P_Y=\frac{1}{2} \delta_1+\frac{1}{2} \delta_{-1}.$ Etudier la convergence en probabilité de $(X_n)_n.$

Pour la première question, j'ai procédé de la façon suivante : soit $\alpha>0,$ j'ai appliquée la loi forte des grands nombres pour dire que
$$\overline X_n \rightarrow ^{p.s} \mu \ et \ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_n^2\rightarrow ^{p.s} \mu^2+\sigma^2$$
alors $$\frac{n}{n-1}\overline X_n^2 \rightarrow ^{p.s} \mu^2, \ et \ \frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^nX_n^2 \rightarrow ^{p.s} \mu^2 +\sigma^2$$
D'où $$\overline S_n \rightarrow ^{p.s} \sigma$$
alors $$\overline S_n \rightarrow ^{\mathcal L} \sigma$$
En appliquant le théoèreme de limite central, on obtient :
$$(\overline X_n-\mu)\sqrt{n} \rightarrow^{\mathcal L} Y$$ où Y est de loi normale $N(0,\sigma^2)$,
alors
$$\sqrt{n}|\overline X_n-\mu|-\overline S_n \alpha \rightarrow^{\mathcal L} |Y|-\alpha\sigma$$
d'après le lemme de Slutsky, mais
$F_{|Y|-\sigma\alpha}$ (fonction de repartition) est continue en 0, et on a:
$$\lim_nP(|\overline X_n-\mu| \leq \frac{\overline S_n \alpha}{\sqrt{n}})=P(|\frac{Y}{\sigma}|\leq\alpha)=2\phi(\alpha)-1$$

Pour la question 2) comment déduire la convergence en loi de la suite de v.a.?
Pour la question 3) je pense que $(X_n)_n$ ne converge pas en probabilité, mais comment verifier ce résultat?

Merci d'avance