Matrice aléatoire définie positive

Bonjour P,

En se limitant aux eaux douces des probabilités discrètes, et donc en édulcorant un peu le problème, il s'agit de prouver que:
Si $V_1,V_2,...V_N$ sont des matrices de $\mathcal S_n^{++}(\R)$, et si $p_1,p_2...p_N$ sont des réels strictement positifs dont la somme est égale à $1$, alors: la matrice $ M=:\displaystyle{ \sum_{i=1}^N p_iV_i^{-1} - \Big(\sum_{i=1}^N p_i V_i\big)^{-1}}$ est dans $\mathcal S_n^+(\R)$..

1)On prouve d'abord que si $A ,B \in \mathcal S_n^{++}(\R)$ et si $\alpha,\:\beta>0,\:\alpha + \beta = 1$, alors: $\alpha A^{-1} + \beta B^{-1} - \Big( \alpha A +\beta B \Big)^{-1} \in \mathcal S_n^+(\R)$ . On atteint ce résultat en diagonalisant $A$ et $B$ dans une même base et en utilisant l'inégalité $\dfrac{\alpha}x +\dfrac{\beta}y \geq\dfrac{1}{\alpha x+ \beta y}$, valable pour tous $x,y >0$.

2). On achève la preuve avec un raisonnement par récurrence sur $N$; c'est vrai pour $N=1$ et $N=2$.
Soit donc $N>2$; Notons $\alpha = p_N,\: \beta = \displaystyle {\sum_{i=1}^{N-1}p_i,\: \:q_i =\frac{p_i}{\beta},\:\: B=\sum_{i=1}^{N-1}q_iV_i}.$
L'hypothèse de récurrence entraine que :$\displaystyle{ \sum_ {i=1}^{N-1} q_iV_i ^{-1} =\Delta+ B^{-1}}$ où la matrice $\Delta \in \mathcal S_n^+(\R)$ .
Il vient: $M = \beta \big( \Delta + B^{-1}\big) +\alpha V_N^{-1} - \big(\beta B + \alpha V_N)^{-1} = \Big(\alpha V_N^{-1}+\beta B^{-1} - (\alpha V_N + \beta ^{-1}\Big) +\beta \Delta. $http://www.les-mathematiques.net/phorum/profile.php?34,21999
$B,\:V_N \in \mathcal S_n^{++}(\R)$, $\alpha,\beta>0$, $\alpha + \beta =1$, donc le 1) entraine que la matrice qui figure entre les grandes parenthèses de l'égalité précédente est semi-définie positive, puis que $M$ l'est également.
Peut-être cela donne-t-il un axe de démonstration pour un cadre plus général.
Amicalement,

@P. : une fonction convexe est une fonction vérifiant $f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$ pour tout $t\in[0;1]$, ça tu sais déjà. Maintenant sur les matrices symétriques on peut mettre la relation d'ordre (partiel) $A\leq B$ ssi $B-A$ est symétrique positive.

Ici cela revient à montrer que $A\mapsto (Ax,x)$ (EDIT : je voulais en fait parler de $A\mapsto (A^{-1}x,x)$) est convexe sur $S_n^{++}(\mathbf R)$ pour tout $x\in \mathbf R^n$. J'ai l'impression que ça doit être vrai. je n'ai pas regardé si Jensen s'adapte bien à cette relation d'ordre par contre.

Il manquait un $ {}^{-1}$ dans mon message, j'ai corrigé... Ce que je voulais dire était que montrer la convexité d'une fonction $f : X \to \mathbf S_n(\mathbf R)$ revient à montrer la convexité de toutes les fonctions $x \mapsto (f(x)u,u)$ où $u\in \mathbf R^n$.

Pour la fonctions qui nous intéresse ici (l'inverse d'une matrice) je ne sais pas si on a convexité, j'ai réfléchi 2 minutes, je n'ai pas eu d'idée sur comment partir et j'ai abandonné.