Convergence de série des espérances cond

Bonjour

Soit $\mathcal{H}$ une famille des v.a.r. sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) $ et $ \mathcal{F} $ une sous-tribu de $\mathcal{A}$ non triviale tq : telle que $$
\sup_{X\in \mathcal{H}}\mathbb{E}(|X|\chi_{|X|> R}| \mathcal{F})\xrightarrow[R\rightarrow +\infty]{~~p.s.~~}0
$$ Est-ce qu'on peut trouver une suite d'entiers naturels (ou des réels positifs) $C_{n}\uparrow +\infty$ tq telle que : $$
\sup_{X\in \mathcal{H}}\sum_{n\geq 1}\mathbb{E}(|X|\chi_{|X|> C_{n}}| \mathcal{F}) $$ est finie presque sûrement ?

Merci d'avance.