Intégrale stochastique au carré

Frishman · June 2018

Bonjour,
A-t-on : \[\bigg( \int_{0}^{b} M_s \, \mathrm{d}B_s \bigg)^2 = \int_{0}^{b} M_s^2 \, \mathrm{d}s \] avec $B_s$, mouvement brownien et $M_s$ un processus continu.
Cette égalité est-elle toujours vraie ? Uniquement si $M_s$ est une martingale locale ? Une vraie martingale ?

Merci beaucoup pour votre aide.
Frishman

EtIlo · June 2018

Non, cette égalité n'est pas vraie. Déjà si le $M$ est une fonction déterministe du temps le membre de gauche de l'égalité est une v.a., celui de droite un scalaire. Elle est vraie en espérance par contre. La condition sur $M$ c'est surtout qu'il doit être adapté et de carré intégrable soit en espérance (auquel cas le processus à gauche sans carré est une martingale), soit seulement $\mathbb{P}$ p-s (auquel cas cette propriété n'est plus vraie). J'avoue ne plus me souvenir de propriétés spécifiques si $M$ est une martingale ou une martingale locale, mais cela existe sans doute.

Jaberbenayane · July 2018

En espérance p.s ça représente l’isométrie si le deuxième terme en espérance est fini, pour cette égalité je n'en ai aucune idée.

Jaberbenayane · July 2018

Dans l’isométrie si M est F-adapté, cadlag, et carré intégrable en espérance la différence entre les termes de votre égalité représente une martingale locale.