Chaîne de Markov irréductible et apériodique
Bonjour à tous
Soit $\Omega$ un espace d'états fini, et soit $(X_n)_{n\geq1}$ une chaîne de Markov sur $\Omega$ que l'on suppose irréductible, c'est-à-dire : $\forall \omega,\,\omega'\in\Omega,\ \exists N\geq 1,\ P(X_N=\omega'\mid X_1=\omega)>0$.
Je voudrais démontrer que $(X_n)$ est apériodique si et seulement si :
$\exists N\geq 1,\ \forall \omega,\,\omega'\in\Omega,\ P(X_N=\omega'\mid X_1=\omega)>0$. $\quad(P)$
Le sens $(P)\Rightarrow$ apériodique me semble clair, en effet soit $\omega\in \Omega$ :
$(P)$ implique l'existence de $N\geq1$ tel que $P(X_N=\omega\mid X_1=\omega)>0$, mais aussi $P(X_{N+1}=\omega\mid X_1=\omega)>0$. On conclut car $\mathrm{pgcd}(N,N+1)=1$.
Je ne parviens pas à montrer la réciproque.
Merci
Soit $\Omega$ un espace d'états fini, et soit $(X_n)_{n\geq1}$ une chaîne de Markov sur $\Omega$ que l'on suppose irréductible, c'est-à-dire : $\forall \omega,\,\omega'\in\Omega,\ \exists N\geq 1,\ P(X_N=\omega'\mid X_1=\omega)>0$.
Je voudrais démontrer que $(X_n)$ est apériodique si et seulement si :
$\exists N\geq 1,\ \forall \omega,\,\omega'\in\Omega,\ P(X_N=\omega'\mid X_1=\omega)>0$. $\quad(P)$
Le sens $(P)\Rightarrow$ apériodique me semble clair, en effet soit $\omega\in \Omega$ :
$(P)$ implique l'existence de $N\geq1$ tel que $P(X_N=\omega\mid X_1=\omega)>0$, mais aussi $P(X_{N+1}=\omega\mid X_1=\omega)>0$. On conclut car $\mathrm{pgcd}(N,N+1)=1$.
Je ne parviens pas à montrer la réciproque.
Merci
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Réponses
Par apériodicité, tous les états sont apériodiques donc pour tout état $x$, il existe $N_x > 0$ tq $P^{n}(x,x) > 0$ pour tout $n \geq N_x$. Par finitude de $\Omega$ on peut encore une fois prendre le max de tous les $N_x$, que nous écrirons $N_1$.
Maintenant supposons par l'absurde que (P) soit faux et prenons $N = N_0 + N_1$. Alors il existe un couple $(x,y)$ tel que $P^N(x,y) = 0$. Par définition de $N_0$ et l'irréducibilité il existe un entier $N_2 \leq N_0$ tel que $P^{N_2}(x,y) > 0$. On peut maintenant écrire $N = N_2 + N_1 + N_3$, avec $N_3 = N_0 - N_2 \geq 0$. On a maintenant
$$ P^N(x,y) = P^{N_2 + N_1 + N_3}(x,y) = P^{N_1 + N_3}(x,x) P^{N_2}(x,y) > 0$$
car les deux facteurs sont strictement positifs, ce qui montre bien la contradiction.
En résumé l'idée c'est que par finitude, si on va assez loin, on pourra toujours écrire $N$ comme la somme d'un $N_0$ tel que l'on a une proba positive de passer de $x$ à $y$ en $N_0$ étapes, et d'un deuxième terme $M$ qui, lorsqu'il est suffisamment grand, la aussi par finitude de $\Omega$, nous assure que l'on peut aller de $x$ à $x$ en $M$ étapes avec probabilité positive, peu importe le $x$ considéré.