Convergence série de variables aléatoires

Poirot · June 2018

Bonjour, je dispose d'une suite de variables aléatoires indépendantes $(X_n)_n$ centrées et uniformément bornées (au sens où il existe un $\beta > 0$ tel que pour tout $n \geq 0$, $|X_n| \leq \beta$ presque sûrement), et qui vérifient de plus que la série $$\sum_n \text{Var}(X_n)$$ converge.

Le théorème des trois séries de Kolmogorov me permet d'obtenir que la série $$\sum_n X_n$$ converge presque sûrement, mais ça me semble être un marteau-pilon pour pas grand-chose ici, y a-t-il un moyen plus simple de justifier cette convergence ?

Merci d'avance pour vos réponses.

EtIlo · June 2018

Aucun espoir de passer par un théorème presque sûre de convergence de martingale?

Poirot · June 2018

Je ne connais absolument rien aux martingales donc je ne sais pas quoi te répondre.

aléa · June 2018

D'accord avec Etilo, pour moi c'est le premier théorème de convergence de série de variables aléatoires indépendantes: si les $(X_n)$ sont indépendantes centrées avec $\sum Var(X_n)<+\infty$, alors la série converge presque sûrement et dans L2.(*)
Si on ne connait pas les martingales, il faut les inégalités de Kolgomorov.
(Voir par exemple Garet-Kurtzmann http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre.php pages 341 à 344)
Avec les martingales c'est une conséquence directe du théorème de convergence des martingales bornées dans $L^2$ (voir par exemple Garet http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre-pps/)

(*) Et c'est une première pierre de la preuve du théorème des trois séries

Foys · June 2018

Il faudra rajouter en plus des hypothèses comme $E(X_n)$ nulle pour tout $n$ ou encore sommable, afin d'éviter des situations telles que $X_n=1$ p.s pour tout $n$.